平面弯曲梁力计算的数学模型与应用.doc

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1、平面弯曲梁内力计算的数学模型与应用(一)、剪力方程和弯矩方程若横截面的位置用沿梁轴线的坐标x来表示，则各横截面上的剪力和弯矩都可以表示为坐标x的函数，即，以上两个函数式表示梁内剪力和弯矩沿梁轴线的变化规律，分别称为剪力方程和弯矩方程。(二)、剪力图和弯矩图为了形象地表示剪力和弯矩沿梁轴线的变化规律，可以根据剪力方程和弯矩方程分别绘制剪力图和弯矩图。以沿梁轴线的横坐标x表示梁横截面的位置，以纵坐标表示相应横截面上的剪力或弯矩，在工程中，习惯上把正剪力画在x轴上方，负剪力画在x轴下方；而把弯矩图画在梁受拉的一侧，即正弯矩画在x轴下方，负弯

2、矩画在x轴上方。受均布荷载作用的简支梁，其剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛物线；最大剪力发生在两端支座处，绝对值为；而最大弯矩发生在剪力为零的跨中截面上，其绝对值为。结论：在均布荷载作用的梁段，剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛物线。在剪力等于零的截面上弯矩有极值。结论：在无荷载梁段剪力图为平行线，弯矩图为斜直线。在集中力作用处，左右截面上的剪力图发生突变，其突变值等于该集中力的大小，突变方向与该集中力的方向一致；而弯矩图出现转折，即出现尖点，尖点方向与该集中力方向一致。结论：梁在集中力偶作用处，左右截面上的剪力无变化，而弯矩出现突变，其突

3、变值等于该集中力偶矩。微分关系法绘制剪力图和弯矩图(一)、荷载集度、剪力和弯矩之间的微分关系（1）结论一：梁上任意一横载面上的剪力对x的一阶导数等于作用在该截面处的分布荷载集度。这一微分关系的几何意义是，剪力图上某点切线的斜率等于相应截面处的分布荷载集度。再由上式中，Ｃ点为右侧横截面的形心，经过整理，并略去二阶微量后，得（2）结论二：梁上任一横截面上的弯矩对x的一阶导数等于该截面上的剪力。这一微分关系的几何意义是，弯矩图上某点切线的斜率等于相应截面上剪力。将式（2）两边求导，可得（3）结论三：梁上任一横截面上的弯矩对x的二阶导数等于该

4、截面处的分布荷载集度。这一微分关系的几何意义是，弯矩图上某点的曲率等于相应截面处的荷载集度，即由分布荷载集度的正负可以确定弯矩图的凹凸方向。(二)、用微分关系法绘制剪力图和弯矩图利用弯矩、剪力与荷载集度之间的微分关系及其几何意义。可总结出下列一些规律，以用来校核或绘制梁的剪力图和弯矩图。1．在无荷载梁段，即时由式(1)可知，是常数，即剪力图是一条平行于x轴的直线；又由式(2)可知该段弯矩图上各点切线的斜率为常数，因此，弯矩图是一条斜直线。2．均布荷载梁段，即常数时由式(1)可知，剪力图上各点切线的斜率为常数，即是x的一次函数，剪力图是

5、一条斜直线；又由式(2)可知，该段弯矩图上各点切线的斜率为x的一次函数，因此，是的二次函数，即弯矩图为二次抛物线。这时可能出现两种情况，如图1所示。MM图1M图的凹凸向与q(x)的关系3．弯矩的极值由可知，在的截面处，具有极值。即剪力等于零的截面上，弯矩具有极值；反之，弯矩具有极值的截面上，剪力一定等于零。利用上述荷载、剪力和弯矩之间的微分关系及规律，可更简捷地绘制梁的剪力图和弯矩图，其步骤如下：（1）分段，即根据梁上外力及支承等情况将梁分成若干段；（2）根据各段梁上的荷载情况，判断其剪力图和弯矩图的大致形状；（3）利用计算内力的简便

6、方法，直接求出若干控制截面上的Q值和M值；（4）逐段直接绘出梁的Q图和M图。