特征值 矩的标准形.doc

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1、第七章特征值矩阵的标准形基本内容1.基本概念：正交变换，正交矩阵，矩阵相似，特征值和特征向量，特征多项式，矩阵可对角化，若当形矩阵，矩阵相合，二次型，实二次型的标准形、规范形，惯性指数，正定二次型与正定矩阵，2.定理：是正交矩阵是正交矩阵。3.定理：设是的两组基。设变为的变换矩阵为。如果在基下的矩阵为，则在基下的矩阵为。4.定理：若阶矩阵的个特征值为，则。5.定理：∽。6.定理：若是的互不相同的特征值，则；设，则线性无关。7.定理：矩阵可对角化有个线性无关的特征向量，的所有不同特征值的重数之和等于且每个特征值的重数等于其特征子空间的维数。8.可对角化矩阵的变换矩阵的求法

2、。9.定理：任一个矩阵在复数域上都相似于唯一的若当形矩阵。10.定理：（1）实对称矩阵的特征值都是实数；（2）实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量是正交的；（3）设是一个实对称矩阵，则存在正交矩阵，使得是对角阵。11.主轴定理：对于任一个实二次型，都存在正交变换，使得。12.惯性定理：实对称矩阵的相合规范形是唯一的。13.定理：对于阶实对称矩阵，下列命题等价：（1）是正定二次型（即是正定矩阵）；（2）得正惯性指数为，即相合于；（3）存在可逆矩阵使得；（4）的个特征值都大于零；（5）的个顺序主子式都大于零。1.定理：若是正定二次型，则（1）的主对角元都大于零；（2）的行列

3、式大于零。常见题型1.关于正交矩阵（变换）解法：利用定义及性质（如习题前8道题）。2.关于相似矩阵（包括线性变换在不同基下的矩阵表示）解法：定义及性质（如习题11至15等）。3.求特征值和特征向量解法1：定义（如习题18（1）（2）、19，补充题1等）；解法2：特征多项式，解方程组，相似矩阵（如习题16、17、18、20，补充题2等）。4.关于可对角化矩阵（包括判断矩阵可对角化、求对角阵及相关证明）解法1：利用关于特征值、特征向量的等价条件（如习题21、22等）；解法2：利用实对称矩阵的可对角化性（如习题25、26、27等）；解法3：利用若当标准形（在复数域上）。5.关

4、于二次型及相合关系（主要是坐标变换成标准形或规范形）解法1：实对称矩阵的可对角化性（如习题35、39、40等）；解法2：配方法（如习题37等）；6.关于正定矩阵（包括判定及相关证明）解法：定义及等价条件。习题1．解：因为是正交矩阵，所以。所以有方程组。。。（下略）考察点：正交矩阵的定义，解方程组。2．证明：设是对称矩阵且是正交矩阵，下证是对合矩阵。因为是正交矩阵，所以。因为是对称矩阵，所以。所以。其余两种情况略。考察点：对称矩阵、正交矩阵、对合矩阵的定义。3．解：略。考察点：对称矩阵、正交矩阵、对合矩阵的定义。4．证明：因为是正交矩阵，所以。因为，所以。所以。所以是正交

5、矩阵。考察点：正交矩阵、伴随矩阵的性质，矩阵乘积的逆与转置。1．证明：（1）充分性：因为的每个元素等于自己的代数余子式，所以。所以。因为，所以，即为正交矩阵。必要性：因为为正交矩阵，所以。所以。因为，所以，即的每个元素等于自己的代数余子式。（2）与上类似；略。考察点：正交矩阵、伴随矩阵，矩阵的乘法结合律。2．证明：设对角矩阵。因为是正交矩阵，所以，即。所以或。考察点：矩阵乘积的分量公式，正交矩阵。3．证明：（1）因为，所以。（2）因为是正交矩阵，所以。所以，即是反对称矩阵。考察点：的用法，正交矩阵，矩阵乘积的逆与转置，反对称矩阵。1．证明：设是欧氏空间的两组单位正交基，

6、设变为的过渡矩阵为。则有。所以。所以，即是正交矩阵。考察点：过渡矩阵，Kronecker符号，单位正交基，欧氏空间的内积，正交矩阵。9，10：不要求。11．略。12．略。考察点：过渡矩阵，线性变换在不同基下的矩阵表示，基的扩充方法（P183例3）13．证明：因为可逆，所以，即∽。考察点：的应用，相似矩阵14．证明：因为∽，∽，所以存在可逆矩阵使得。所以，即∽。考察点：相似矩阵，分块矩阵。15．证明：因为∽，所以存在可逆矩阵使得。所以即∽，这儿。所以，即∽。考察点：相似矩阵，的应用。16，17解：略。考察点：特征值与特征向量的求法。18．解：（1）的特征值必不等于零（如果

7、存在）。若否，则方程组必有非零解，这与可逆矛盾。（2）0必为的一个特征值。因为此时方程组有非零解。（3）的特征值必不等于（如果存在）。理由与（1）类似，略。（4）与（3）类似，略。（5）1与中必有其一为的特征值。因为，所以与中必有其一成立。（6）的特征值一定存在，且其必为1或。因为，所以。所以1与中必有其一为的特征值（由（5）可得）。设是的一个特征值，则必存在非零向量使得。所以。所以，即或。（7）的特征值一定存在，且其必为0或1。理由与（6）类似，略。（8）的特征值一定存在，且其必为0。理由与（6）类似，略。（9）的个特征值为。验证即可（