截面的静矩和形心位置及惯性矩的计算

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1、oyzІ-1截面的静矩和形心位置一、定义dAyz截面对z,y轴的静矩为：静矩可正，可负，也可能等于零。yzodAyz截面的形心C的坐标公式为：yc截面对形心轴的静矩等于零。若截面对某一轴的静矩等于零，则该轴必过形心。二、组合截面截面各组成部分对于某一轴的静矩之代数和，就等于该截面对于同一轴的静矩。由几个简单图形组成的截面称为组合截面其中：Ai——第i个简单截面面积——第i个简单截面的形心坐标组合截面静矩的计算公式为计算组合截面形心坐标的公式如下：1010120o80取x轴和y轴分别与截面的底边和左边缘重合解：将截面分为1，2两个矩形。12yx例1-1试

2、确定图示截面心C的位置。1010120o8012yx矩形1矩形2所以1010120o8012yxІ-2极惯性矩惯性矩惯性积yz0dAyz截面对o点的极惯性矩为定义：截面对y,z轴的惯性矩分别为因为Ip=Ix+Iy所以xy0dAxydA2ρIApò=截面对x,y轴的惯性积为惯性矩的数值恒为正，惯性积则可能为正值，负值，也可能等于零。。截面的对称轴，若x,y两坐标轴中有一个为则截面对x,y轴的惯性积一定等于零xydxdxydA截面对x,y轴的惯性半俓为例2_1求矩形截面对其对称轴x,y轴的惯性矩。dA=bdy解：bhxyCydy例2-2求圆形截面对其对

3、称轴的惯性矩。解：因为截面对其圆心O的极惯性矩为yxd所以xyoC(a,b)ba一、平行移轴公式xc,yc——过截面的形心c且与x,y轴平行的坐标轴（形心轴）（a,b)_____形心c在xoy坐标系下的坐标。§І-3惯性矩和惯性积的平行移轴公式组合截面的惯性矩和惯性积ycxcx,y——任意一对坐标轴C——截面形心Ixc,Iyc,Ixcyc——截面对形心轴xc,yc的惯性矩和惯性积。Ix,Iy,Ixy_____截面对x,y轴的惯性矩和惯性积。xyoC(a,b)baycxc则平行移轴公式为二、组合截面的惯性矩惯性积Ixi,Iyi,——第i个简单截面对x,y

4、轴的惯性矩、惯性积。组合截面的惯性矩，惯性积例3-1求梯形截面对其形心轴yc的惯性矩。解：将截面分成两个矩形截面。2014010020zcycy12截面的形心必在对称轴zc上。取过矩形2的形心且平行记作y轴。于底边的轴作为参考轴，所以截面的形心坐标为2014010020zcycy122014010020y12zcyc一、转轴公式顺時针转取为–号§І-4惯性矩和惯性积的转轴公式截面的主惯性轴和主惯性矩xoy为过截面上的任–点建立的坐标系x1oy1为xoy转过角后形成的新坐标系oxyx1y1逆時针转取为+号，显然上式称为转轴公式oxyx1y1二、截

5、面的主惯性轴和主惯性矩主惯性轴——总可以找到一个特定的角0,使截面对新坐标轴x0,y0的惯性积等于0,则称x0,y0为主惯轴。主惯性矩——截面对主惯性轴的惯性矩。形心主惯性轴——当一对主惯性轴的交点与截面的形心重合时，则称为形心主惯性轴。形心主惯性矩——截面对形心主惯性轴的惯性矩。由此求出后，主惯性轴的位置就确定出来了。主惯性轴的位置：设为主惯性轴与原坐标轴之间的夹角，则有过截面上的任一点可以作无数对坐标轴，其中必有一对是主惯性轴。截面的主惯性矩是所有惯性矩中的极值。即：Imax=Ix0,Imin=Iy0主惯性矩的计算公式截面的对称轴一定是形

6、心主惯性轴。确定形心的位置选择一对通过形心且便于计算惯性矩（积）的坐标轴x，y,计算Ix,Iy,Ixy求形心主惯性矩的步骤确定主惯性轴的位置计算形心主惯性矩y20c10101207080例4-1计算所示图形的形心主惯性矩。解：该图形形心c的位置已确定,如图所示。过形心c选一对座标轴X,y轴，计算其惯性矩（积）。xyy20c10101207080xyy20c10101207080xy形心主惯性轴x0,y0分别由x轴和y轴绕C点逆时针转113.80得出。形心主惯形矩为在第三象限