2021版高考数学一轮复习选修4-5不等式选讲2证明不等式的基本方法练习理北师大版.doc

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1、证明不等式的基本方法考点一　综合法证明不等式 【典例】(2019·全国卷Ⅰ)已知a,b,c为正数,且满足abc=1,证明:(1)++≤a2+b2+c2.(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.【证明】(1)因为a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,又abc=1,故有a2+b2+c2≥ab+bc+ca==++.当且仅当a=b=c时,取等号.所以++≤a2+b2+c2.(2)因为a,b,c为正数且abc=1,故有(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥3=3(a+b)(b+c)(a+c)≥3×(2)×(2)×(2)=24.当且仅当a=b=c时

2、,取等号.所以(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.1.综合法证明不等式,要分析清已知与求证之间,不等式的左右两端之间的差异与联系.合理进行转换,恰当选择已知不等式,这是证明的关键.2.在用综合法证明不等式时,不等式的性质和基本不等式是最常用的.在运用这些性质时,要注意性质和不等式成立的条件.考点二　分析法证明不等式 【典例】已知函数f(x)=

3、x+1

4、.(1)求不等式f(x)<

5、2x+1

6、-1的解集M.(2)设a,b∈M,证明:f(ab)>f(a)-f(-b).【解题导思】联想解题(1)根据绝对值的性质去绝对值,解不等式(2)用综合法证明不等式不好证明时,考虑分析

7、法证明【解析】(1)由题意,得

8、x+1

9、<

10、2x+1

11、-1,①当x≤-1时,不等式可化为-x-1<-2x-2,解得x<-1;②当-11.综上,M={x

12、x<-1或x>1}.(2)因为f(a)-f(-b)=

13、a+1

14、-

15、-b+1

16、≤

17、a+1-(-b+1)

18、=

19、a+b

20、,所以要证f(ab)>f(a)-f(-b),只需证

21、ab+1

22、>

23、a+b

24、,即证

25、ab+1

26、2>

27、a+b

28、2,即证a2b2+2ab+1>a2+2ab+b2,即证a2b2-a2-b2+1>0,即证(a2-1)(

29、b2-1)>0.因为a,b∈M,所以a2>1,b2>1,所以(a2-1)(b2-1)>0成立,所以原不等式成立.1.当要证的不等式不知从何入手时,可考虑用分析法去证明,特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更为有效.2.分析法证明不等式的依据也是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论.3.分析法证明不等式的思维方向是“逆推”,即由待证的不等式出发,逐步寻找使它成立的充分条件(执果索因),最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式.已知a>b>c,且a+b+c=0,求证:b>c且a+b+c=0,知a>0,c<0.要证

30、a2.因为a+b+c=0,只需证b2+a(a+b)<3a2,只需证2a2-ab-b2>0,只需证(a-b)(2a+b)>0,只需证(a-b)(a-c)>0.因为a>b>c,所以a-b>0,a-c>0,所以(a-b)(a-c)>0显然成立,故原不等式成立.考点三　比较法证明不等式 命题精解读考什么:(1)考查数、代数式的大小比较(2)考查学生的数学运算、逻辑推理等核心素养和转化化归、放缩等数学思想方法怎么考:与基本初等函数、数列、三角函数等数学知识交叉考查大小比较问题新趋势:以不等式为载体,与函数、数列、三角函数等结合考查为主学霸好方法比较法证明不等式的思路:当题目中出现多项式

31、的大小比较时,一般采用作差法;当题目中出现正的单项式大小比较时,一般采用作商法作差法【典例】当p,q都是正数且p+q=1时,试比较(px+qy)2与px2+qy2的大小.【解析】(px+qy)2-(px2+qy2)=p2x2+q2y2+2pqxy-(px2+qy2)=p(p-1)x2+q(q-1)y2+2pqxy.因为p+q=1,所以p-1=-q,q-1=-p.所以(px+qy)2-(px2+qy2)=-pq(x2+y2-2xy)=-pq(x-y)2.因为p,q为正数,所以-pq(x-y)2≤0,所以(px+qy)2≤px2+qy2.当且仅当x=y时,不等式中等号成立.作商法

32、【典例】已知a,b∈R+,证明:aabb≥abba.【证明】因为=,当a>b时,>1,a-b>0,故>1;当a=b时,=1,a-b=0,故=1;当a1.综上,aabb≥abba.