巧变换 妙解题.pdf

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1、换妙解题口曾晓阳在解决数学问题的过程中，经常会碰到涉及含(2)当口>0时，‘．‘≥O，．。．ax+2+1>0，．。．不等型函数的一类不等式恒成立中求参数范围的问题，此式>fax++1在xEEo，+oo)上恒成立甘ln≥类问题的解决一般要依赖于导数工具的应用，若利用ln(ax。+2+1)在xEE0，+oo)上恒成立甘z≥ln(ax“分离参数法”求解，往往会受到所构函数的最值无法++1)在2∈Eo，+oo)上恒成立甘ln(口z+z+1)一求解的困扰；若直接构造函数求其最值，却由于矿的≤O在士∈Vo，+oo)上恒成立．导数仍是其本身无法回避，给接下来的一系列求设g()=ln(ax++1)-

2、x(x>~O)，解——尤其是如何对所求参数进行分类讨论带来了则g一一一较大的麻烦，因此，找到一种自然、顺畅、可行、简捷的解法就显得非常关键．一口z(x-2a~1)数学家G·波利亚在《怎样解题》中说过：数学解±．．——．—．．—．．———．—．．一口z+z+1’题是命题的连续变换，可见变换思想的应用在数学解题中起着至关重要的作用．针对面临的数学问题，从①当≤o即o

3、果．由于与lnx存在着千丝万缕的②当丝：>o即n>1时联系，而且lnx的导数能很好地规避自身的影响，为，若oo诺z>，g)

4、(x)在：处取得极大值即为最大值，学们在解决数学问题的过程中一点启迪、一点帮助．例1(2010年全国新课程理科21题)设函数且g()>g(0)=0，，(z)=一1一z一日。．·．g()≤g()．g(丝)≤0(I)若a=O，求厂()的单调区间；．，这显然矛(11)若当≥o时厂()≥O，求a的取值范围．盾，不符合题意，舍去．解析：(I)若a=O，则，(z)一矿一1一．，()的单调递减区间为(一。。，O)，，(z)的单调综上所述，“≤专，．．．謇数n的取值范围为(一o。，递增区间为(O，+o。)，过程略．]J(U)依题意有一1一z一口≥0在∈Fo，’+。。)上恒成立．从例1的解析中不难发现

5、，在对已知不等式进行(1)当n≤0时，由(I)得，矿一1一z>t0，又z≥O，变形的过程中，必须始终关注变形的等价性，这是问显然恒成立；题成功解决的关键所在．将式子单独置于不等式一56一的一边的同时，对于不等式另一边的式子符号性质特征也应该特别谨慎小心，唯有保证其为正数，才能确保实施两边同取自然对数后达成等价变换．为了使问题的解答实施起来更为简单便捷，还经常需要我们先’观察判断在已知变量范围的条件下参数哪些范围的·．g()在一处取得极大值即为最大值，且取值符合题意或哪些范围的取值不符合题意，这样可g()>g(0)一0，缩小参数讨论的范围，达到事半功倍．已知不等式恒等变换后，构造一个与

6、1眦有关的新的函数，对其进·．．g()≤g()．g()≤o，显然矛盾，不行求导并通分，重点研究导函数的零点对其单调性的符合题意，舍去．影响，最终再确定新函数的最值，从而解决问题，需要综上所述，。≤1，．。．实数口的取值范围为(一cx3，注意的是，在求解的过程中，若能始终将数形结合的1]．思想贯穿其中，问题解决的思路会更直观、清晰．例3(2006年全国J卷理科21题)已知函数为了对以上解法的技巧有更深的认识和了解，下(z)一l+x面我们不妨再举两例加以说明，以便同学们能从中进一e一一．一步地体会这一方法的巧妙与独特．(I)设a>O，讨论一，()的单调性；例2(2011年全国卷I文科21

7、题)设函数，(z)(Ⅱ)若对任意xE(O，1)恒有_厂(z)>1，求。的取一(矿一1)-aX．1值范围．(I)若口：÷，求，()的单调区间；解析：(I)过程略．(1I)若当≥o时厂()≥O，求n的取值范围．(Ⅱ)。．‘OO，(Ⅱ)依题意有z(一1)～a．T≥0在z∈[O，依题意有，l~x甜>1在V∈(o，1)上恒成立+。。)上恒成立．(i)若=0时，