导数与函数、不等式综合问题.doc

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1、年级高三学科数学编稿老师刘震课程标题导数与函数、不等式综合问题一校林卉二校黄楠审核王百玲一、考点突破函数与不等式解答题是高考命题的重要题型，解答这类题需要用到导数的相关知识。其命题热点经常是与导数知识的综合考查，出现频率较高的题型是最值、范围问题，单调性或方程根的讨论等综合问题。二、重难点提示重点：导数的定义和几何意义；和差积商的导数；复合函数的导数。难点：导数与函数单调性、极值、最值的关系；利用导数解决不等式、函数零点等问题。一、知识脉络图二、知识点拨1.导数的定义：2.导数的几何意义：（1）函数在点处的导数，就是曲线在点处的切线的斜率；（2）函数在点处的导数，就是物体的运动方程在时刻时的

2、瞬时速度；3.要熟记求导公式、导数的运算法则、复合函数的导数等。尤其注意：和。4.求函数单调区间的步骤：（1）确定f（x）的定义域（2）求f（x）的导数（3）令y′>0（y′<0），解出相应的x的范围。当y′>0时，f（x）在相应区间上是增函数；当y′<0时，f（x）在相应区间上是减函数5.求极值常按如下步骤：①确定函数的定义域；②求导数；③求方程＝0的根及导数不存在的点，这些根或点也称为可能极值点；④通过列表法，检查在可能极值点的左右两侧的符号，确定极值点。6.设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，求f（x）在[a，b]上的最大（小）值的步骤如下：（1）求f（x）在（a，b

3、）内的极值；（2）将f（x）的各极值与f（a），f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。7.最值（或极值）点必在下列各种点之中：导数等于零的点、导数不存在的点、端点。能力提升类例1已知函数其中（Ⅰ）当时，求曲线处的切线的斜率；（Ⅱ）当时，求函数的单调区间与极值。一点通：（Ⅰ）把a＝0代入f（x）中化简得到f（x）的解析式，求出f'（x），因为曲线的切点为（1，f（1）），所以把x＝1代入f'（x）中求出切线的斜率，把x＝1代入f（x）中求出f（1）的值得到切点坐标，根据切点和斜率写出切线方程即可；（Ⅱ）令f'（x）＝0求出x的值为x＝－2a和x＝a－2，分两种情况讨论：①当

4、－2a＜a－2时和②当－2a＞a－2时，讨论f'（x）的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性即可得到函数的最值。答案：（I）（II）以下分两种情况讨论。（1）＞，则＜。当变化时，的变化情况如下表：＋0－0＋↗极大值↘极小值↗（2）＜，则＞，当变化时，的变化情况如下表：＋0－0＋↗极大值↘极小值↗点评：本题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。综合运用类例2已知函数（），其中。（Ⅰ）当时，讨论函数的单调性；（Ⅱ）若函数仅在处有极值，求的取值范围；（Ⅲ）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围。一点通：（Ⅰ）将a的

5、值代入后对函数f（x）进行求导，当导函数大于0时求原函数的单调递增区间，当导函数小于0时求原函数的单调递减区间。（Ⅱ）根据函数f（x）仅在x＝0处有极值说明f'（x）＝0仅有x＝0一个根，从而得到答案。（Ⅲ）根据函数f（x）的单调性求出最大值，然后令最大值小于等于1恒成立，从而求出b的取值范围。答案：（Ⅰ）。当时，。令，解得，，。当变化时，，的变化情况如下表：02－0＋0－0＋↘极小值↗极大值↘极小值↗所以在，内是增函数，在，内是减函数。（Ⅱ），显然不是方程的根。为使仅在处有极值，必须成立，即有。解此不等式，得。这时，是唯一的极值。因此满足条件的的取值范围是。（Ⅲ）由条件，可知，从而恒成立。

6、当时，；当时，。因此函数在上的最大值是与两者中的较大者。为使对任意的，不等式在上恒成立，当且仅当，即，在上恒成立。所以，因此满足条件的的取值范围是。点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的最大值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力。例3已知函数（I）求在区间上的最大值（II）是否存在实数使得的图象与的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。一点通：（I）本题考查的是定函数与动区间的问题，是一元二次函数中一动一定的问题，解题时要针对二次函数的对称轴与区间的关系进行讨论，即对称轴在区间上，或是在区间的左边或右边。（II）遇到关于两个函数的图

7、象的交点个数的问题时，一般是构造新函数，将题目转化为研究函数的零点问题，通过导数得到函数的最值，把函数的最值同0进行比较，得到结果。答案：（I）当即时，在上单调递增，当即时，当时，在上单调递减，综上，（II）函数的图象与的图象有且只有三个不同的交点，即函数的图象与轴的正半轴有且只有三个不同的交点。因为所以，当时，是增函数；当时，是减函数；当时，是增函数；当或时，于是，当充分接近0时，当充分大时，因此，要使的图