函数、导数、不等式的综合问题

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1、函数、导数、不等式的综合问题例1、已知x＝3是函数f(x)＝aln(1＋x)＋x2－10x的一个极值点．(1)求a；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)若直线y＝b与函数y＝f(x)的图象有3个交点，求b的取值范围．例2、设函数f(x)＝x3＋2ax2＋bx＋a，g(x)＝x2－3x＋2，其中x∈R，a，b为常数．已知曲线y＝f(x)与y＝g(x)在点(2,0)处有相同的切线l.(1)求a，b的值，并写出切线l的方程；(2)若方程f(x)＋g(x)＝mx有三个互不相同的实根0、x1、x2，其中x1＜x2，且对任意的x∈[x1，x2]，f(x)＋g(x)＜m(x－1)恒成立，

2、求实数m的取值范围．-8-例3、设函数f(x)定义在(0，＋∞)上，f(1)＝0，导函数f′(x)＝，g(x)＝f(x)＋f′(x)．(1)求g(x)的单调区间和最小值；(2)讨论g(x)与g的大小关系；(3)是否存在x0＞0，使得

3、g(x)－g(x0)

4、＜对任意x＞0成立？若存在，求出x0的取值范围；若不存在，请说明理由．例4、设函数f(x)＝ex－ax－2.(1)求f(x)的单调区间；(2)若a＝1，k为整数，且当x＞0时，(x－k)f′(x)＋x＋1＞0，求k的最大值．-8-1、已知函数f(x)＝(k为常数，e＝2.71828…是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(

5、1，f(1))处的切线与x轴平行．(1)求k的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)设g(x)＝xf′(x)，其中f′(x)为f(x)的导函数，证明：对任意x＞0，g(x)＜1＋e－2.2、设函数f(x)＝(1＋x)2－2ln(1＋x)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若关于x的方程f(x)＝x2＋x＋a在[0,2]上恰有两个相异实根，求实数a的取值范围．3、已知函数f(x)＝kx，g(x)＝.(1)求函数g(x)＝的单调递增区间；(2)若不等式f(x)≥g(x)在区间(0，＋∞)上恒成立，求k的取值范围．　　　　　　　　　　　　　　　　-8-4、设a为实数，函数f(x

6、)＝ex－2x＋2a，x∈R.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当a＞ln2－1且x＞0时，ex＞x2－2ax＋1.5、设函数f(x)＝x(ex－1)－ax2.(1)若a＝，求f(x)的单调区间；(2)若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围．-8-函数、导数、不等式的综合问题【例1】►已知x＝3是函数f(x)＝aln(1＋x)＋x2－10x的一个极值点．(1)求a；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)若直线y＝b与函数y＝f(x)的图象有3个交点，求b的取值范围．解　f(x)的定义域：(－1，＋∞)．(1)f′(x)＝＋2x－10，又f′(3)＝＋6－10＝0

7、，∴a＝16.经检验此时x＝3为f(x)极值点，故a＝16.(2)f′(x)＝＋2x－10＝＝.当－13时，f′(x)>0；当1162－10×16>16ln2－9＝f(1)，f(e－2－1)<－32＋11＝－21

8、所以在f(x)的三个单调区间(－1,1)，(1,3)，(3，＋∞)直线y＝b与y＝f(x)的图象各有一个交点，当且仅当f(3)

9、．解　(1)a＝－2，b＝5，切线l的方程为x－y－2＝0.(2)由(1)得，f(x)＝x3－4x2＋5x－2，所以f(x)＋g(x)＝x3－3x2＋2x.依题意，方程x(x2－3x＋2－m)＝0有三个互不相同的实根0，x1，x2，故x1，x2是方程x2－3x＋2－m＝0的两相异的实根，所以Δ＝9－4(2－m)＞0，即m＞－.又对任意的x∈[x1，x2]，f(x)＋g(x)＜m(x－1)恒成立．特别地，取x＝x1时，f(x1)＋g(x1)－mx1＜－m成立，得m＜0.由韦达定理，可得x1＋x2＝3＞0，