系统辨识相关分析和最小二乘.ppt

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1、系统辨识之相关分析法相关分析法原理相关分析法是根据输入和输出数据，辨识出系统的脉冲响应函数g（t）假设：输入u（t）是具有各态历经性的平稳随机过程，测量噪声v（t）与输入u（t)相互独立，且输入u（t）、输出y（t）、测量噪声v（t）的均值为零。维纳-何甫方程给出了输入的自相关函数、输入与输出的互相关函数以及脉冲响应函数三者之间的关系。对于一个脉冲响应函数为g（t）的线性系统，当以输入信号u（t）的自相关函数Ruu（τ）作为系统输入时，则系统的输出即为输入u和输出z之间的互相关函数Ruz（τ）。如果输入信号是白噪声的话，由白噪声的性质得：求解脉冲响应函数问题简化成

2、了计算互相关函数问题需要解决积分时间长和白噪声的物理实现这两个问题。为了解决第一个问题，即在有限的时间内，完成互相关函数的计算，可以采用周期白噪声；为了解决第二个问题，可采用近似白噪声信号。工程实际中，通常采用具有周期性的伪随机二位式序列作为测试信号，可同时解决这两个问题。M序列式最常用的一众伪随机二进制序列下图为本实验的原理框图:其中：过程传递函数为G(s)，参数值u(k)和z(k)分别为过程的输入和输出变量；v(k)为过程测量白噪声，服从正态分布，均值为零，方差为σv2，记作v(k)~N(0,σv2)；为过程的脉冲响应理论值;为过程脉冲响应估计值;为过程脉冲响

3、应估计误差。过程的输入驱动采用M序列，输出受到白噪声的污染。根据过程的输入和输出数据，利用相关分析算法根据输出过程的脉冲响应值，并与过程脉冲响应理论值比较，得到过程脉冲响应估计误差值，当时，应该有。实验方案设计：1)采用串联传递函数仿真令，则G(s)的表达框图为：编程语句可写成：2)白噪声生成:利用U[0,1]均匀分布的随机数生成正态分布的白噪声其中，标准差分别取0,0.1,0.5。编程语句:3)M序列生成:用M序列作为辨识的输入信号,循环周期取时钟节拍，幅度.生成M序列的结构图:编程语句:4)互相关函数的计算其中，r为周期数，表示计算互相关函数所用的数据是从第二

4、个周期开始的，目的是等过程仿真数据进入平稳状态。5)计算脉冲响应估计值脉冲响应估计值:脉冲响应估计误差:结果分析：利用相关分析法分析脉冲响应，得到脉冲响应的估计误差是随着输入白噪声标准差的增加而增大的，带有白噪声污染的输出z,在白噪声标准差为0时与理想输出y是重合的，白噪声的标准差愈小对系统的输出干扰愈小。实验结果图：实验结果图：实验结果图：系统辨识之最小二乘法最小二乘法原理设单输入单输出线性定长系统的差分方程表示为：其中：，是均值为0的白噪声，现分别测出n+N个输出输入值y(1),y(2)......y(n+N),u(1),u(2)......u(n+N),则可

5、写出N个方程，写成向量－矩阵形式令：则式可写为：式中：y为N维输出向量；ξ为N维噪声向量；θ为（2n+1）维参数向量；Φ为N×（2n+1）测量矩阵。因此，式是一个含有（2n+1）个未知参数由N个方程组成的联立方程组。则：∴在给定输出向量y和测量矩阵Φ的条件下求参数θ的估计，这就是系统辨识问题。设表示的估计值，ŷ表示y的最优估计，则有式中：设e(k)=y(k)-ŷ(k),e(k)称为残差，则有e=y-ŷ=y-Φθ最小二乘估计要求残差的平方和最小，即按照指数函数：则求Ｊ对的偏导数并令其等于0可得：得：推出：其中，J为极小值的充分条件是：即矩阵ΦTΦ为正定矩阵，或者说是

6、非奇异的。ΦTΦ正定的必要条件是：输入u(k)为持续激励信号。递推最小二乘算法为了实现实时控制，必须采用递推算法，这种辨识方法主要用于在线辨识设已获得的观测数据长度为N，则估计误差的方差矩阵为：式中：于是如果再获得1组新的观测值，则又增加1个方程得新的参数估计值式中：应用矩阵求逆引理，可得和的递推关系式由于是标量，因而上式可以写成最后，得最小二乘法辨识公式本次试验差分方程的参数真值为：实验结果图：实验结果图：实验结果图：谢谢各位！2014.07