最小二乘类系统辨识

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1、最小二乘类辨识方法的比较胡双红(长沙理工人学计算机与通信工程学院，长沙，410076)摘要：本文系统的探讨了三种最小二乘类辨识方法的原理和性能，并对各种方法在各种不同的环境下进行了MATLAB仿真，仿真结果证明：最小二乘法不适合实时处理，在同等情况卜-，递推最小二乘的辨识速度较快，但在有色噪声干扰卜•效果不理想，广义最小二乘法的辨识效果最好，且不受噪声是否有色的影响，但是费吋最多。1引言系统辨识是一门介于现代控制理论和系统理论的边缘学科.它将现代控制论的平滑、滤波、预测和参数估计理论，以及系统论的系统分析方法和建模思想应用于口然科学、社会科学和工程

2、实践屮的各个领域，与各个领域的专业知识相给合，形成了一个个新的交叉学科分支。关于系统辨识的含义，早在1962Zacleh曾作如下定义「'根据系统的输入和输出，在指定的一类系统中确定一个相被辨识系统等价的系统”。根据这个定义，在系统辨识中必须确定三方面的问题；第一，必须指定一类系统.即根据先验信息确定系统模型的类型。笫二，必须规定一类插入信号。例如正弦信号、阶跃信号、脉冲信号、白噪声、伪随机信号等。而这些信号从时域考虑，必须能持续地激励系统的所冇状态；从频域考虑，输入信号的频带能覆盖系统的频带宽度。第三，必须规定“系统等价”的含义及其度量准则。2线性

3、系统的辨识2.1问题描述考虑如下线性系统：z(k)+qz(Z:—1)++z(k_乃“)=b、叭k-1)+(k_%)+£(«)(1)其中,u(k)为系统激励信号，为系统输出，幺闵为模型噪声。其系统模型如图1所示：图1SISO的系统模型结构图其小是系统函数模型，为冇色噪声系统模型，幺佝为白噪声经过系统函数为的系统后的输出。通常z1A5(z-*)Q(z")式中：/(z」)=1+a}z~l+a2z~2H—+anz~n<>B(zJ=b]Z1+b2z2+—bgZf(3)c(z_l)=1+C]Z_+c2z~2+…+c”z%=d}z~[+(J2z~2+•••+bn

4、z~ndDz^'则系统可表示为:z(k)A(z~x]'7C(z」)'7(4)(5)设样木和参数集为:(6)(7)h(k)=[-z(k-V),・z(k・2),・z(k・n),"仏・1),“伙・2),,u(k-n)Y&=[4卫2,……卫」叽……,bj为可观测的量，差分方程可写为最小二乘形式z(k)=汕(k)O+e(k)如何系统噪声£他存在的情况下从该方程中正确的解出e,即是系统辨识的任务。为了求出&,我们而临三大问题：一是输入信号的选择，二是判决准则的选収，三是辨识算法的选择，下面一一探讨。2.2选择输入为了准确辨识系统参数，我们对输入信号有两大要求

5、，一是信号要能持续的激励系统所冇状态，二是信号频带能覆盖系统的频带宽度。除此Z外还要求信号冇可重复性，不能是不可重复的随机噪声，因此我们通常选择M序列或逆M序列作为输入。2.3准则函数因为本文主要探讨最小二乘类辨识方法，在此选取准则函数00C007(8)丿(〃)=£卜⑷]伙)—//(町町k=k=使准则函数J(^)=min的列占计值记做&S，称作参数&的最小二乘估计值。在式⑺中，令k=I,2,3,……厶可构成线性方程组：ZL(k)=H；(k)O+eL(k)(9)式中"⑴"(1-坷)讥2-坷)■■■叭L一叫)a/(&)se&LS=-(zl-Hl0)

6、T(zl-Hl0)=O(12)z(l)z(2)ZL=•'_z(£)_—z(O)…_z(l—nJ-z(l)…-z(2-巳)准则函数相应变为:(11)Jp)=t[4^)]2必0⑷—X⑷町=匕-讪匕-HQk=k=i极小化丿(&),求得参数&的估计值，将使模型更好的预报系统的输叽2.4辨识算法常用的最小二乘类辨识方法有下列三种：最小二乘法，递推最小二乘法和广义最小二乘法。2.4.1最小二乘法设&£5使得＜/(&)=min＞贝〔J有展开上式，并根据以下两个向量微分公式:aTx]=aT(13)dx/为对称阵(14)得正则方程：(HlHL)0LS=HlzL当为

7、正则阵时，有0LS=(H[HXH[zl(15)o02=2H7lHl>0,所以满足式(15)的唯一使得

8、