递推最小二乘辨识

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1、递推最小二乘法(RLS)上一节中已经给出了LS法的一次成批型算法,即在获得所有系统输入输出检测数据之后,利用LS估计式一次性计算出估计值.成批型LS法在具体使用时不仅计算量大,占用内存多,而且不能很好适用于在线辨识.随着控制科学和系统科学的发展,迫切需要发展一种递推参数估计算法,以能实现实时在线地进行辨识系统模型参数以供进行实时控制和预报,如在线估计自适应控制和预报时变参数辨识故障监测与诊断仿真等.递推辨识算法的思想可以概括成新的参数估计值=旧的参数估计值+修正项即新的递推参数估计值是在旧的递推估计值的基础上修正而成,这就是递推的概念.递推算法

2、不仅可减少计算量和存储量,而且能实现在线实时辨识.递推算法的特性本讲主要讲授递推最小二乘(RecursiveLeast-square,RLS)法的思想及推导过程,主要内容为:递推算法加权RLS法和渐消记忆RLS法1递推算法递推算法就是依时间顺序,每获得一次新的观测数据就修正一次参数估计值,随着时间的推移,便能获得满意的辨识结果.RLS法即为上一节的成批型LS算法的递推化，即将成批型LS算法化成依时间顺序递推计算即可。该工作是1950年由Plackett完成的。下面讨论无加权因素时的一般LS法的递推算法的推导.即将成批型算法化等效变换成如下所示的

3、随时间演变的递推算法.新的参数估计值=旧的参数估计值+修正项(1)递推算法具有良好的在线学习、自适应能力，在系统辨识自适应控制在线学习系统数据挖掘等方面有广泛的应用。设在k-1时刻和k时刻,系统的参数估计结果为其中和分别为根据前k次和前k-1次观测/采样数据得到的LS参数估计值.YL=[y(1),y(2),...,y(L)]TL=[(0),(1),...,(L-1)]T,L×(na+nb)受控XAR模型：A(z-1)y(k)=B(z-1)u(k)+w(k)YL=L+WLYk-1=[y(1),y(2),...,y(k-1)]TΦk=[

4、(0),(1),...,(k-1)]T=[φ(k-1)]TYk=[y(1),y(2),...,y(k)]T=[y(k)]T首先,假定在第k-1次递推中,我们已计算好参数估计值在第k次递推时,我们已获得新的观测数据向量(k-1)和y(k),则记Φk-1=[(0),(1),...,(k-2)]T仔细考察上述LS法,可以知道,该算法进行递推化的关键是算法中的矩阵求逆的递推计算问题.因此,下面先讨论该逆矩阵的递推计算.1递推算法(4/12)令将Φk展开,故有为便于逆矩阵递推算式的推导,下面引入如下矩阵反演公式(设A和C为可逆方阵)(A+B

5、CD)-1=A-1-A-1B(C-1+DA-1B)-1DA-1(4)该公式可以证明如下:由于(A+BCD)[A-1-A-1B(C-1+DA-1B)-1DA-1]=I-B(C-1+DA-1B)-1DA-1+BCDA-1-BCDA-1B(C-1+DA-1B)-1DA-1=I-B[I-C(C-1+DA-1B)+CDA-1B](C-1+DA-1B)-1DA-1=I因此,矩阵反演公式(4)成立.下面讨论参数估计值的递推计算.由上一讲的一般LS估计式由式(3)和矩阵反演公式(4),可得P(k)的如下递推计算式有该乘积为标量(A+BCD)-1=A-1-A-1

6、B(C-1+DA-1B)-1DA-1即利用公式利用公式P(k)=[P-1(k-1)+(k-1)T(k-1)]-1将式(5)和(6)整理可得如下RLS估计算法表示其中的计算顺序为先计算P(k),然后再计算.有时,为计算方便并便于理解,上述RLS估计算法又可表示为其中K(k)称为增益向量；令上述算法的计算顺序为先计算K(k-1),然后再分别计算和P(k-1).预报误差表示基于k-1时刻的历史数据对y(k)的预报值。值得指出的是矩阵P(k)是一个对称、非增的矩阵.若在递推计算过程中破坏了P(k)的对称性,随着递推的推进,计算(辨识)误差将越来越大

7、,并将导致辨识不一致收敛.为了保证计算过程中P(k)矩阵始终是对称的,算法中的P(k)的计算可采用下面的计算式,以保证不破坏P(k)矩阵的对称性.综上所述,RLS法的基本计算步骤可总结如下:1.确定被辨识系统模型的结构,以及多项式A(z-1)和B(z-1)的阶次;2.设定递推参数初值,P(0);3.采样获取新的观测数据y(k)和u(k),并组成观测数据向量(k-1);4.用式(7)~(8)或(9)~(11)所示的RLS法计算当前参数递推估计值;5.采样次数k加1,然后转回到第3步骤继续循环.下面关于该RLS算法,有关于其实现问题的如下讨论:递

8、推初始值选取成批LS与RLS的比较信号充分丰富与系统充分激励数据饱和A.递推初始值选取在递推辨识中,如何选取递推计算中的和P(k)的初值是一个相当重要