高中数学联赛（一试）模拟试题.pdf

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1、中学数学教学参考高中数学联赛(一试)广隶(陕西省数学竞赛委员会)一、填空题(每小题8分，共64分)二、解答题(共56分)1．已知互不相等的三个正数a，b，C成等比数列，9．(16分)设数列{a)的前项和为S，且S一且log。b，logC，log口组成公差为d的等差数列，则d2n—a，咒∈N+。的值是。(I)求数列{a)的通项公式；2．设四棱柱ABCDABCD的所有棱长都是(II)设b一三L_∈N+)，数列{}的前项1，AAB：60。，则该四棱柱体积的最大值为。3．如图1，F、F为双曲线C：y和为T。求证：T<，∈N+。一yA一1(n>o、6>o)的左、右1

2、0．(20分)在直角坐标系xOy中，对于给定的椭圆C：X2+y2焦点，且lFF。l一2。若双曲线CF。—1(口>6>O)，定义椭圆C上的点的右支上存在点P，使得PFJ-PFz。设直线PFz与轴交于点M(x。，yo)的“伴随点”为N(，)。图1A，E．AAPF的内切圆半径为吉，则双曲线c的离心(I)当点M在第一象限时，试求tanMON取得最大值时直线OM的斜率；率为。——(1I)设直线z与椭圆c交于不同的两点A、B，若4．设a、6均为正实数，则a+6++A、B的伴随点分别为P、Q，且以PQ为直径的圆经过坐标原点0。求证：AAOB的面积为定值。上鱼二的最小值为

3、。11·(20分)设函数厂(z)一言z+lnz，其中n∈5．设G为AABC的重心，且·百一0，若R，且a≠0。+石一，则实数的值为。——(工)若对任意z∈(0，+C×3)，都有()<一-去_，6．已知函数厂(z)一l3一it，口∈[，1)，若函数求口的取值范围；“()一，(z)一n有两个不同的零点Lz、z2(zl<2)，(Ⅱ)设-厂(．z)的导函数为f(z)，当a一1时，对任意∈N+，在区间[1，-厂()]上总存在k个不同的正(z)一厂()一有两个不同的零点z。、z(z。

4、)~2015，试求正整数——7．从集合{1，2，3，⋯，99，100)中随机取出两个数k的最小值。m、n(m、可以相同)，则使得2+3”的个位数是3的参考答案概率为。——一8．若对任意的正数、Y，不等式、填空题薯≠≥廊成立，则实数的最大值1．一昔。因为l0g。b，1og6c，log是公差为d的为。等差数列，所以log。b+==log6C—loga—d，即中学数学教学参考啦￡WWW．zhongslul(nC01ql2015年第7期(上甸J当U1，驭a1，U<扫

5、Clg0。Da0以1gC!曼垒±!g±曼垒二g!一由等比定理，得Ig。+lgCIgb。一1)(ba)+6+lg口b+dlg旦C1gC即一>6+>2√6·1—2。lgaClgb。综上，当且仅当口一6—1时，口+6++将b一人，得lg口vFd~+dlg一lgf。0取得最小值为2。⋯一—lga：5．1lgaz。。~AABC的内角A、B、c的对边分别为口、b、C。2．。作A0上平面ABCD，垂足为0。在平面因为一÷(+)，蔚一号(荫+)一ABCD内，过点O作OH上AB，垂足为H，则AH(一2+)，j-AB。于是，A0≤A。H=AAsinAAB一。所以·蔚一告(+)

6、·(一2+)当且仅当点H与0重合时，上式等号成立。一百1(一2A--~+2一·A--~)又四边形ABCD的各边长均为1，所以当且仅当一百1(一2f+6一6cc。sA)四边形ABCD为正方形时，其面积最大，最大值为1。故四棱柱ABCD-ABCD体积的最大值为V一百1(一2c+6。一—b2—-[-c2-a2===1×一。一(n+65。3．2。依题意，lPFl—lPF。I一2a，lAFl由·B--~=0，得nz+6一5c2。===IAFzI。因为RtAAPF。的内切圆半径为又+一，lAPl+lPlFlI—lAF1ll踞l一(1AF2I—lAPi)～：．-----

7、-·-·---—·—-—------—---·--------一所以,,,丽cosA+一。lPFl—lPFz一一———一==：n，由正弦定理、余弦定理，得b+一a。．c+a一b。(n+62一C)所以口一12abc。2abc2abc。2c2c。1所以—又2c—l’1’2I一2，所以C一1。口。+b。一C。5c。一C‘)0故双曲线C的离心率为P一一2。6．1。当z≤0时，，(z)一1—3。由1—3一。，1—3一，得4．2。当a≥1，6≥1时，a+6+0+a≥口+6≥2。一log。(1一n)，z。一1。g。1一丽a)；当且仅当a一6—1时，上式等号同时成立。当x

8、>O时，-厂(z)一3一1。当0