高次不等式的解法.doc

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1、高次不等式的解法---穿根法一．方法:先因式分解,再使用穿根法.注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正.使用方法:①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点.②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿).③数轴上方曲线对应区域使“>”成立,下方曲线对应区域使“<”成立.例1:解不等式(1)(x+4)(x+5)2(2-x)3<0(2)≤1解:(1)原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>02-4-5根据穿根法如图不等式解集为{x∣x>2或x<-4且x

2、≠5}.(2)变形为≥0221131根据穿根法如图不等式解集为{x

3、x<或≤x≤1或x>2}. 【例2】 解不等式：(1)2x3-x2-15x＞0；(2)(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0．【分析】 如果多项式f(x)可分解为n个一次式的积，则一元高次不等式f(x)＞0(或f(x)＜0)可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况．解：(1)原不等式可化为x(2x+5)(x-3)＞0顺轴．然后从右上开始画曲线顺次经过三个根，其解集如图(5－1)的阴影部分．(2)原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3＞0∴原不等式解集为｛

4、x

5、x＜-5或-5＜x＜-4或x＞2｝．【说明】 用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可参照(2)的解法转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”．其法如图(5－2)．数轴标根法”又称“数轴穿根法”　　第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。（注意：一定要保证x前的系数为正数）　　例如：将x^3-2x^2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0　　第二步：将不等号换成等号解出所有根。　　例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2

6、，x2=1，x3=-1　　第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。　　例如：-112　　第四步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根。　　第五步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“<”则取数轴下方，穿根线以内的范围。x的次数若为偶数则不穿过，即奇过偶不过。　　例如：　　若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根。　　在数轴上标根得：-112　　画穿根线：由右上方开始穿根。　　因为不等号为“>”则取数轴上方，穿跟线以内的范围

7、。即：-12。　【典型例题】例1、解不等式(1)2x3-x2-15x＞0；(2)(x+4)(x+5)2(2-x)4＜0．例2、解下列不等式：⑴(x+1)(x-1)(x-2)(x-3)>0；⑵(x+2)(x2+x+1)>0；⑶(x+2)2(x+1)<0；（4）(x+2)2(x+1)0；（5）(x2-1)(x2-5x-6)>0例3、解下列不等式：⑴(x2-1)(x-1)(x2-x-2)<0；⑵(x+1)2(x-2)2(x-1)0；⑶(x-1)2(x2-x-2)0；例4、解不等式：例5、解不等式：例6、解不等式：例7、解不等式：

8、例8、解不等式：（不能十字相乘分解因式；无法分解因式）例9、解下列不等式。⑴x+2+>7+；⑵1；⑷0。【巩固练习】1、解下列不等式：⑴(x+1)2(x-1)(x-4)>0；⑵(x+2)(x+1)2(x-1)3(x-3)>0；⑶(x+2)(x+1)2(x-1)3(3-x))0⑷(x2-1)(x-1)(x2-x-2)0；⑸x+1⑻0；2：解不等式：1、2、3、4、5、6、