数列通项公式的常用求法.doc

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1、数列通项公式的六种常用求法一、累加法形如(n=2、3、4…...)且可求，则用累加法求。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。例1.在数列{}中，=1，(n=2、3、4……)，求{}的通项公式。解：∵这n-1个等式累加得：=故且也满足该式∴().例2．在数列{}中，=1，(),求。解：n=1时,=1以上n-1个等式累加得==，故且也满足该式∴()。二、累乘法形如(n=2、3、4……)，且可求，则用累乘法求。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。例3．在数列{}中，=1，，求。解：由已知得，分别

2、取n=1、2、3……(n-1),代入该式得n-1个等式累乘，即=1×2×3×…×(n-1)=(n-1)!所以时，故且=1也适用该式∴().例4．已知数列{}满足=，，求。解：由已知得，分别令n=1，2，3，….(n-1),代入上式得n-1个等式累乘，即=所以，又因为也满足该式，所以。三、构造等比数列法原数列{}既不等差，也不等比。若把{}中每一项添上一个数或一个式子构成新数列，使之等比，从而求出。该法适用于递推式形如=或=或=其中b、c为不相等的常数，为一次式。例8、已知数列{}中，=1，=，求数列的通项公式。分析：该数列不同于

3、以上几个数列，该数列中含是变量，而不是常量了。故应构造新数列，其中为常数，使之为公比是的系数2的等比数列。解：构造数列，为不为0的常数，使之成为q=2的等比数列即=整理得：=满足=得∴新数列是首项为=，q=2的等比数列∴=∴=四、构造等差数列法数列{}既不等差，也不等比，递推关系式形如，那么把两边同除以后，想法构造一个等差数列，从而间接求出。例、数列{}满足=()，首项为，求数列{}的通项公式。解：=两边同除以得=+1∴数列是首项为=1，d=1的等差数列∴=1+故=五、取倒数法有些关于通项的递推关系式变形后含有项，直接求相邻两项

4、的关系很困难，但两边同除以后，相邻两项的倒数的关系容易求得，从而间接求出。例、已知数列{}，=，，求=？解：把原式变形得两边同除以得∴是首项为，d=的等差数列故∴。六、利用公式求通项有些数列给出{}的前n项和与的关系式=，利用该式写出，两式做差，再利用导出与的递推式，从而求出。例.数列{}的前n项和为，=1，(n∈),求{}的通项公式。解：由=1，=2，当n≥2时==得=3，因此{}是首项为=2，q=3的等比数列。故=(n≥2),而=1不满足该式所以=。