弹性力学课件.ppt

《弹性力学课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、平面应力问题与平面应变问题平面问题的平衡微分方程平面问题中的一点应力状态分析平面问题的几何方程与刚体位移平面问题的物理方程平面问题的边界条件圣维南原理及应用按位移法求解平面问题按应力求解平面问题及相容方程常体力情况下的简化与应力函数主要内容§2.3平面问题中一点应力状态分析应力是与作用面有关的。sx，sy和txy作为基本未知函数，只是表示一点的坐标平面上的应力分量（左图）。而校核强度时需要知道过此点的任意斜面上的应力p。而斜面上的全应力又可以按坐标轴分解为（px,py），也可沿法向和切向分解为正应力sn和和切应力tn（右图）。§2.3平面问题中一

2、点应力状态分析1：求经过该点、平行于z轴而斜交于x轴和y轴的任何斜面上的应力p？2：求经过该点、平行于z轴而斜交于x轴和y轴的任何斜面上的正应力sn和切应力tn？3：若经过该点的某一斜面上的切应力为0，求此斜面上的主应力s和应力主方向a？4：求经过该点的正应力sn和切应力tn的最大和最小值？一点应力状态分析就是求解上述有关应力分量，具体为：已知任一点处坐标面上的应力分量sx，sy和txy，求解如下四个问题：过一点任意斜面的全应力问题1：已知任一点处坐标面上的应力分量sx，sy和txy，求经过该点、平行于z轴而斜交于x轴和y轴的任何斜面上的应力p？

3、取如图所示的微分三角板或三棱柱PAB，当平面AB无限接近于P点时，该平面上的应力即为所求。根据该微分单元的力系平衡条件，在x和y轴方向上合力为0，从而有：过一点任意斜面的正应力与切应力问题2：求经过该点、平行于z轴而斜交于x轴和y轴的任何斜面上的正应力和切应力？平面AB上的正应力sn即为上面所求的全应力p向法线方向n的投影：平面AB上的切应力tn即为上面所求的全应力P向切线方向的投影：或过一点任意斜面的主应力与主方向问题3：若经过该点的某一斜面上的切应力为0，求此斜面上的主应力s和应力主方向a？设如图所示的斜面上切应力为0，则该面上的全应力等于正

4、应力，也等于主应力，于是有又由于有过一点任意斜面的主应力与主方向从而有关于方向余弦l,m的线性方程组：有展开得平面问题的主应力特征方程：由求根公式有：过一点任意斜面的主应力与主方向下面求应力主方向。将所求主应力s2代入第二个方程：两个应力主方向是相互垂直的将所求主应力s1代入第一个方程：过一点任意斜面的应力极值问题4、已知任一点处两个主应力s1和s2，及其应力主方向，可求得经过该点正应力、切应力的最大和最小值。为了分析简便，选取x轴和y轴分别与两个应力主方向一致，则该点的应力分量为sx=s1，sy=s2，txy=0先求正应力的极值。上式代入正应力

5、公式（2－4），并利用两个方向余弦平方和为1，得sn=(s1-s2)l2+s2由此可知，两个主应力就是正应力的最大和最小值。过一点任意斜面的应力极值再求切应力的极值。将sx=s1，sy=s2，txy=0代入切应力公式（2－5），并利用两个方向余弦的平方和为1，得由此可知，当l2=0.5，s1≥s2时，切应力的最大和最小值如下，其作用平面的法线方向与x轴和y轴成45°角：一点应力状态分析_总结已知任一点处坐标面上的应力分量sx，sy和txy，可求解如下四个问题：1：任何斜面上的应力p：2：任何斜面上的正应力sn和切应力tn：一点应力状态分析_总结4

6、：经过该点的正应力sn和切应力tn的最大和最小值：3：主应力s和应力主方向a：例　题例2.3.1：在负载结构中，某点O处的等厚平行四面体各面的受力情况如图所示（平面应力状态）。试求（1）主应力的大小及方向（2）沿与水平面成30°倾角的微面上的全应力和正应力。45°xyO30°ABC平面应力问题与平面应变问题平面问题的平衡微分方程平面问题中的一点应力状态分析平面问题的几何方程与刚体位移平面问题的物理方程平面问题的边界条件圣维南原理及应用按位移法求解平面问题按应力求解平面问题及相容方程常体力情况下的简化与应力函数主要内容§2.4几何方程及刚体位移平面

7、问题的几何方程是考虑平面问题的几何学条件，根据弹性体内微分线段及角度的几何学知识来推导出形变分量与位移分量之间的关系。与推导平衡微分方程一样，平面问题的几何方程也是要从微分角度导出，这样结果才是精确的。几何方程及刚体位移如图所示，考虑弹性体内任意点P(x,y)，沿x、y方向取两个微小长度的线段PA和PB分别为dx、dy。受力变形后P、A和B分别移动到P′、A′和B′。1、设P点的位移分量分别为u和v。利用连续性和小变形假设，根据Taylor级数展开式，略去高阶项，可求出A和B的位移分量。几何方程及刚体位移2、由线应变的定义，可得出线段PA的相对伸

8、缩量如下（即x方向的线应变。由于位移微小，y方向的位移引起的PA伸缩量是高一阶的微量，忽略不计）：3、同理，线段PB的相对伸缩量（即y方