1995年全国高考数学试题.doc

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一九九五年全国高考数学试题理科试题一．选择题：本题共15个小题;第（1）-（10）题每小题4分，第（11）-（15）题每小题5分，共65分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知I为全集，集合M，NI，若MN=N，则（C）(A)y(B)y(C)y(D)yo1x-1oxo1x-1ox（A）（B）（C）（D）（2）函数的图象是（B）（3）函数的最小正周期是（C）（A）（B）（C）（D）（4）正方体的全面积是，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是（B）（A）（B）（C）（D）（5）若图中的直线的斜率分别为，则（D）yOx（A）（B）（C）（D）（6）在的展开式中，的系数是（D）22 （A）-297（B）-252（C）297（D）207（7）使成立的的取值范围是（B）（A）（B）（C）（D）（8）双曲线的渐近线方程是（C）（A）（B）（C）（D）（9）已知是第三象限角，且，那么等于（A）（B）（C）（D）（A）（10）已知直线，直线.有下面四个命题：（D）①②③④其中正确的两个命题是（A）①与②（B）③与④（C）②与④（D）①与③（11）已知在[0，1]上是x的减函数，则的取值范围是（B）（A）（0，1）（B）（1，2）（C）（0，2）（D）[2，+）（12）等差数列的前n项和分别为与，若等于（C）（A）1（B）（C）（D）22 （13）用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（A）（A）24个（B）30个（C）40个（D）60个（14）在极坐标系中，椭圆的两焦点分别在极点和（2c，0），离心率为e,则它的极坐标方程是（D）（A）（B）（C）（D）B1D1A1F1C1BAC（15）如图，A1B1C1-ABC是直三棱柱，∠BCA=900，点D1，F1分别是A1B1，A1C1的中点。若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（A）（A）（B）（C）（D）二．填空题：本大题共5小题;每小题4分，共20分。把答案填在题中横线上。（16）不等式的解是__________答：（17）已知圆台上、下底面圆周都在球面上，且下底面过球心，母线与底面所成的角为，则圆台的体积与球体积之比_______答：22 (18)函数的最小值是_______答：（19）直线过抛物线的焦点，并且与x轴垂直，若被抛物线截得的线段长为4，则_______答：4（20）四个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有________种（用数字作答）答：144三．解答题：本大题共6小题;共65分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。（21）（本小题满分7分）在复平面上，一个正方形的四顶点按照逆时针方向依次为Z1，Z2，Z3，O（其中O是原点），已知Z2对应复数。求Z1和Z3对应的复数。解：设Z1，Z3对应的复数分别为依题设得（22）（本小题满分10分）22 求的值。解：原式=（23）（本小题满分12分）如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面的圆周上，AF⊥DE，F是垂足。（Ⅰ）求证：AF⊥DB;（Ⅱ）如果圆柱与三棱锥D-ABE的体积比等于，求直线DE与平面ABCD所成的角。DCFAHBE（Ⅰ）证明：根据圆柱性质，DA⊥平面ABE∵BE平面ABE，∴DA⊥EB.∵AB是圆柱底面的直径，点E在圆周上，∴AE⊥EB，又AE∩AD=A，故得EB⊥平面DAE∵AF平面DAE，∴EB⊥AF又AF⊥DE，且EB∩DE=E，故得AF⊥平面DEB.∵DB平面DEB∴AF⊥DB.（Ⅱ）解：过点E作EH⊥AB，H是垂足，连结DH.22 根据圆柱性质，平面ABCD⊥平面ABE，AB是交线，且EH平面ABE，∴EH⊥平面ABCD.又DH平面ABCD，∴DH是ED在平面ABCD上的射影，从而∠EDH是DE与平面ABCD所成的角.设圆柱的底面半径而R，则DA=AB=2R，于是V圆柱=2πR3，VD-ABE=AD·S△ABE=·EH.V圆柱:VD-ABE=3π,得EH=R.可知H是圆柱底面的圆心，AH=R，DH=∴∠EDH=（24）（本小题满分12分）某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴。设淡水鱼的市场价格为x元/千克，政府补贴为t元/千克，根据市场调查，当8≤x≤14时，淡水鱼的市场日供应量P千克与市场日需求量Q千克近似的满足关系：当P=Q时的市场价格称为市场平衡价格。（Ⅰ）将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域;（Ⅱ）为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少为每千克多少元？22 解：（Ⅰ）依题设有化简得当判别式时，可得①②解不等式组①，得不等式组②无解。故所求的函数关系式为函数的定义域为[0，]（Ⅱ）为使，应有化简得解得从而政府补贴至少为每千克1元。（25）（本小题满分12分）设是由正数组成的等比数列，是其前n项和。（Ⅰ）证明（Ⅱ）是否存在常数c>0使得22 成立？并证明你的结论。（Ⅰ）证明：设的公比为，由题设知（1）当时，从而（2）当时，从而由（1）和（2）得根据对数函数的单调性，知即（Ⅱ）解：要使①成立，则有②分两种情况讨论：（1）当时，可知，不满足条件①，即不存在常数c>0，使结论成立。（2）当时，若条件①成立，因22 且故只能有即此时，但时，不满足条件②，即不存在常数c>0，使结论成立。证法二：用反证法.假设存在常数c>0，使，则有由（4）得根据平均值不等式及（1）、（2）、（3）、（4）知因为c>0，故（5）式右端非负，而由（Ⅰ）知，（5）式左端小于零，矛盾。故不存在常数c>0，使22 （26）（本小题满分12分）已知椭圆，直线.P是上一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|·|OP|=|OR|2.当点P在上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。解：由题设知点Q不在原点.设P，R，Q的坐标分别为yPQROx（xP,yP),（xR,yR),（x,y),其中x,y不同时为零.当点P不在y轴上时，由于点R在椭圆上及点O，Q，R共线，得方程组解得由于点P在直线上及点O，Q，P共线，解方程组解得当点P在y轴上时，经检验（1）~（4）式也成立由题设|OQ|·|OP|=|OR|2，得22 将（1）~（4）式代入上式，化简整理得因x与xP同号或y与yP同号，以及（3），（4）知，故点Q的轨迹方程为所以点Q的轨迹是以（1，1）为中心，长、短半轴分别为和且长轴与x轴平行的椭圆，去掉坐标原点。解法二：由题设点Q不在原点.又设P，R，Q的坐标分别为（xP,yP),（xR,yR),（x,y),其中x,y不同时为零.设OP与x轴正方向的夹角为，则有由上式及题设|OQ|·|OP|=|OR|2，得由点P在直线上，点R在椭圆上，得方程组22 将（1），（2），（3），（4）代入（5），（6），整理得点Q的轨迹方程为所以点Q的轨迹是以（1，1）为中心，长、短半轴分别为和且长轴与x轴平行的椭圆，去掉坐标原点。解法三：投影法设P，R，Q的坐标分别为（xP,yP),（xR,yR),（x,y),其中x,y不同时为零.由题设|OQ|·|OP|=|OR|2设OP的方程为这就是Q点的参数方程，消去参数k得当P在y轴上时，k不存在，此时Q（0，2）满足方程，22 故Q点轨迹是以（1，1）为中心，长、短半轴分别为和且长轴与x轴平行的椭圆，去掉坐标原点。解法四：极坐标法在极坐标系OX中，设∠POX=由得由得由|OQ|·|OP|=|OR|2得即将（1），（2）代入（3）故Q点轨迹是以（1，1）为中心，长、短半轴分别为和且长轴与x轴平行的椭圆，去掉坐标原点。文科试题一．选择题：本题共15个小题;第（1）-22 （10）题每小题4分，第（11）-（15）题每小题5分，共65分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知全集I={0，-1，-2，-3，-4，}集合M={0，-1，-2}，N={0，-3，-4}，则（B）(A)y(B)y(C)y(D)yo1x-1oxo1x-1ox（A）{0}（B）{-3，-4}（C）{-1，-2}（D）（2）函数的图象是（D）（3）函数的最小正周期是（C）（A）（B）（C）（D）（4）正方体的全面积是，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是（B）（A）（B）（C）（D）（5）若图中的直线的斜率分别为，则（D）yOx（A）（B）（C）（D）（6）双曲线的渐近线方程是（C）（A）（B）（C）（D）22 （7）使成立的的取值范围是（A）（A）（B）（C）（D）（8）圆的位置关系是（C）（A）相离（B）外切（C）相交（D）内切（9）已知是第三象限角，且，那么等于（A）（B）（C）（D）（A）（10）如图，ABCD-A1B1C1D1是正方体，D1F1C1A1E1B1DCABB1E1=D1F1=，则BE1与DF1所成角的余弦值是（A）（A）（B）（C）（D）（11）已知是x的减函数，则的取值范围是（B）（A）（0，2）（B）（0，1）（C）（1，2）（D）（2，+）（12）在的展开式中，的系数是（D）（A）-297（B）-252（C）297（D）207（13）已知直线，直线.有下面四个命题：（D）①②③④其中正确的两个命题是（A）①与②（B）③与④（C）②与④（D）①与③22 （14）等差数列的前n项和分别为与，若等于（C）（A）1（B）（C）（D）（15）用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（A）（A）24个（B）30个（C）40个（D）60个二．填空题：本大题共5小题;每小题4分，共20分。把答案填在题中横线上。（16）方程的解是__________答：3（17）已知圆台上、下底面圆周都在球面上，且下底面过球心，母线与底面所成的角为，则圆台的体积与球体积之比_______答：(18)函数的最大值是_______答：（19）直线过抛物线的焦点，并且与x轴垂直，则被抛物线截得的线段长为_______答：4（20）四个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有________种（用数字作答）22 答：144三．解答题：本大题共6小题;共65分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。（21）（本小题满分7分）解方程解：设，则原方程可化为所以原方程的解为x=2.（22）（本小题满分12分）设复数求复数的模和辐角。解：所以复数的模为;辐角为（23）（本小题满分10分）22 设是由正数组成的等比数列，是其前n项和。证明证明：设的公比为，由题设知（1）当时，从而（2）当时，从而由（1）和（2）得根据对数函数的单调性，知即证法二：设的公比为，由题设知即（以下同证法一）（24）（本小题满分12分）如图，ABCD是圆柱的轴截面，点E在底面的圆周上，AF⊥DE，F是垂足。22 （Ⅰ）求证：AF⊥DB;（Ⅱ）如果AB=，圆柱与三棱锥D-ABE的体积比等于，求点E到截面ABCD的距离。DCFABE（Ⅰ）证明：根据圆柱性质，DA⊥平面ABE∵BE平面ABE，∴DA⊥EB.∵AB是圆柱底面的直径，点E在圆周上，∴AE⊥EB，又AE∩AD=A，故得EB⊥平面DAE∵AF平面DAE，∴EB⊥AF又AF⊥DE，且EB∩DE=E，故得AF⊥平面DEB.∵DB平面DEB∴AF⊥DB.（Ⅱ）解：设点E到平面ABCD的距离为d记AD=h，因圆柱轴截面ABCD是矩形，所以AD⊥AB。S△ABD=AB·AD=VD-ABE=VE-ABD=S△ABD=又V圆柱=π·AD=，由题设知即22 （25）（本小题满分12分）某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴。设淡水鱼的市场价格为x元/千克，政府补贴为t元/千克，根据市场调查，当8≤x≤14时，淡水鱼的市场日供应量P千克与市场日需求量Q千克近似的满足关系：当P=Q时的市场价格称为市场平衡价格。（Ⅰ）将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域;（Ⅱ）为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少为每千克多少元？解：（Ⅰ）依题设有化简得当判别式时，可得①②解不等式组①，得不等式组②无解。故所求的函数关系式为22 函数的定义域为[0，]（Ⅱ）为使，应有化简得解得从而政府补贴至少为每千克1元。（26）（本小题满分12分）已知椭圆，直线.P是上一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|·|OP|=|OR|2.当点P在上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。解：由题设知点Q不在原点.设P，R，Q的坐标分别为yPRQOx（12,yP),（xR,yR),（x,y),由题设知xR,>0,x>0.由点R在椭圆上及点O，Q，R共线，得方程组解得由点O，Q，P共线，得即由题设|OQ|·|OP|=|OR|2，得22 将（1）、（2）（3）式代入上式，整理得点Q的轨迹方程所以点Q的轨迹是以（1，0）为中心，长、短半轴分别为1和且长轴在x轴上的椭圆，去掉坐标原点。22