Lame函数和非线性演化方程的新多级准确解.pdf

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1、第42卷第1期数学的实践与认识Vo1．42，No．12012年1月MATHEMATICSINPRACTICEANDTHEORYJan．，2012Lam6函数和非线性演化方程的新多级准确解薛海丽，肖亚峰z，张鸿庆。(1．中北大学软件学院，山西太原030051)(2．中北大学数学系，山西太原030051)(3．大连理工大学数学科学学院，辽宁大连116024)摘要：基于Lam6方程和新的Lam6i~数，应用摄动方法和Jacobi椭圆函数展开法求解非线性演化方程，获得多种新的多级准确解．这些解在极限条件下可以退化为各种形式的孤波解．关键词：非线性

2、演化方程；多级准确解；摄动方法；Lam6~数；Jacobi椭圆函数1引言寻找非线性演化方程的准确解在非线性问题中占有很重要的地位．为了求得更多的准确解和求得更多的非线性演化方程的各级准确解，涌现出了一系列的求解方法，如B~cklund变换【、Darboux变换[2】、Hirota变换[3】、齐次平衡法[4-6]、Painlev6截断展开法[7-s】、试探函数法[9-1o】、Jacobi椭圆函数展开法[n-13]及其它方法[14-16】，而应用这些方法求得的非线性发展方程的解主要有孤立波解、冲击波解和Jacobi椭圆函数解．为了讨论这些解的

3、稳定性，必须在这些解的基础上叠加上一个小扰动，并分析小扰动的演化对解的影响．这种做法的实质，是将非线性演化方程的解展开为小参数的幂级数，并力求获得它的各级准确解．最近，刘式适、付遵涛等基于上述思想，应用6类Jacobi椭圆函数和Lam69~"程，提出了求解非线性演化方程多级准确解的方法，并获得了若干非线性演化方程的多级准确解[17-21]．在本文中，从Lam6方程中将得到更多的Lam6函数，并把这些Lam6函数应用到非线性演化方程的求解中，得到更多的新多级准确解及其相应的退化形式解．2Lam6函数通常，函数()的Lam6方程[22j可以写

4、为+[—p+1)dc(()0(1)其中，为本征值，p为正整数，dc(x)=为Jacobi椭圆函数，其模为m(o1，：-hA．收稿日期：2011—06—22资助项目：国家自然科学基金青年基金(10901145)；中北大学校基金228数学的实践与认识42卷方程(2)是包含4个正则奇点的叼=0，一1，h和∞的Fuchs型方程，它的解称为Lam6函数．当P=3，=4(m。+1)(=一A=一4(1+m一。))时，Lam6晕数为=叼{(]-_-

5、m2)()吉dc()sc(3)当P=2，=m。+1(：一hA=一1一仇一。)时，Lam6~数为．=(而~-．m2)('0-1)⋯㈦sc()(4)其中(3)和(4)中nc(∈)=面1酉和sc()=器均为Jacobi椭圆函数．3P=3，A=4(m2+1)的多级准确解当P=3，=4(m-4-1)时，Lam6方程(1)化为d2y(x)+[4(m2+1)-12dc。((。(5)它的解为(3)．下面将以KdV方程、非线性Klein-Gordon方程(I)和BBM方程为例加以说明3．1KdV方程ut+u+u=0(6)设它的行波解为u=札(∈)，∈=南一

6、ct)(7)其中k和c分别为波数和波速．将(7)代入(6)中，关于积分一次，并取积分常数为零，可得u，+昙2一：0(8)设U：0+E1+￡22+⋯(9)其中E(0<￡《1)是一个小参数，，1，2，⋯分别代表的零级、一级和二级等各级准确解．+弘叫。=0(10)+(a~o-c)_0(11)n芒c)。=一(12)d之对于零级方程(10)，应用Jacobi椭圆函数展开法，设其解为n：0n+aldc)+02dc2()(13)l期薛海丽，等：L帆6函数和非线性演化方程的新多级准确解229将(13)代入(10)中，很容易求得：4flk2(1+m2-4-

7、x／1-m2+m4)12ilk2南瓣(14)。。：——，al=O~一因而KdV方程(6)的零级准确解为4ilk2(1+m2土_二二)0—————————一(15)将零级准确解(15)代入一级方程(11)中，可得：+[4(m。+1)一12dc()】1=0(16)由前述可知，方程(16)正好是P=3，：4(m+1)的Lam69~(5)．因此，KdV方程(6)的一级准确解为1=Adc()nc(专)sc()(为任意常数)(17)对于二级方程(12)，将(15)、(17)代入(12)中，可以得到+[4(m。+1)_12dc。()]2=一茄dc()。

8、nc()sc()(8)这是P=3，=4(m+1)的非齐次Lam6方程．为了求解，设2：b0+b2dc()+badc4(~)(19)将(19)代入(18)中，可得0。4。6o一48flk2(1-