不定方程与组合解释的相互作用.pdf

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1、40福建中学数学2013年第2期5构造一元二次方程的根与系数关系解决综合由（i）kk⋅=−1，∴⊥MAMB，12性问题即MDM⊥E．例6（2011年高考湖南卷·理21）如图，椭圆（ii）由

2、

3、MAkkk=24+=

4、

5、1+k2，111122xy32Ca1:122+=>>(b0)的离心率为，x轴被曲线同理

6、

7、MBk=

8、

9、221+k，结合③式得：ab22Cyxb:=−2截得的线段长等于C的长半轴11224+k21SM==

10、

11、A

12、

13、(MB1)+kk(1)+=""（a）112222长．（Ⅰ）求C，C的方程；（Ⅱ）设C与y轴的交122⎧⎪ykx=−1，122点为M，过坐标原点O的直

14、线l与C2相交于点A，又由⎨22得(14+−kxkx11)8=0，⎪⎩xy+44=，B，直线MA，MB分别C18k1与相交与D，E．（i）证明：∴xM=0，xD=2，14+k1MDM⊥E；(ii)记ΔMAB，228

15、k1

16、ΔMDE的面积分别是故

17、

18、MDxx=−

19、DM

20、1=+k1121+k，14+k1SS，．问是否存在直线l，128

21、k

22、22例6同理

23、

24、MEk=1+，S1722使得1=?请说明理由．14+k2S322结合③式得：2x22解（I）答：CC12，的方程分别为+=y1，1324+k4SM=⋅

25、

26、D

27、

28、ME=""（b），2222254+kyx=−1．（解法过程略）

29、2S254+k171（II）依题意知M(0，−1)，由（a）/（b）得==，S64322且直线MA，MB，AB都不可能与x轴垂直，3因此可设直线MAykx:1=−，解得：k=±，故满足条件的直线l存在，且有12直线MBykx:1=−2，直线ABykx:=，33两条，其方程分别为yx=和yx=−．⎧⎪ykx=−1，2212由⎨2得Akk(111，−)，点评以上解法，通过紧扣“同等地位”的两组直⎪⎩yx=−1，2线（MA与MB；MD与ME）的斜率关系，将两直同理可得Bkk(1，−)．22线的斜率构造成以直线AB的斜率为系数的一元二又因点A在yk=x上，2次方程的两根，通过根

30、与系数的关系，巧妙地将两∴−⋅−=kkk10"①，11个三角形面积SS，统一到直线AB的斜率k上来，212同理可得kkk−⋅−=10"②，22使问题的获解显得干净利落、一气呵成，给人以简2根据①，②知，kk，是一元二次方程x−kx12洁优美之感．⎧kkk+=，12−=10的两根，于是⎨"③，⎩kk⋅=−1，12不定方程与组合解释的相互作用李应广东省华南师范大学数学科学学院（510631）在求解不定方程的时候，若能通过“一一对应”定理一若nm，∈N，mn≤，则不定方程+关系找到其组合解释，则不定方程的求解会显得更m−1x+xx+⋅⋅⋅+=n正整数解的组数为C．12mn−1

31、加形象、直观．反之，若遇到组合问题，也可以尝证明把n个相同的球排成一列，则有n−1个间试构造不定方程来求解，两种思路相得益彰．隔，在这些间隔中插入m−1个挡板，则有Cm−1种不n−12013年第2期福建中学数学41同方法数．此时n个小球被分成m份，假设从左到右，形，当且仅当pABACBC，，pp的长度均小于π．不妨设第i份小球个数为xi(1≤≤im)，则每种挡板方法与不pABx=，pACy=BCp=z，则ΔABC为锐角三角形的定方程x+xx+⋅⋅⋅+=n的一组正整数解构成一一12m⎧xyz++=π2，充要条件是⎨原问题转化为求不定方对应关系．由此，原命题得证．⎩0

32、z，，<π，定理二若nm，∈N，mn≤，则不定方程x++1程组的解．m−1x2+⋅⋅⋅+xnm=非负整数解的组数为Cnm+−1．由于xyz，，>0，xyz++=π2，即为ΔMNP平证明设yx11=+1，yx22=+1，⋅⋅⋅，yxmm=+1，面，如图2，且0

33、全国高中数学联赛改编）如果自不定方程解的问题，组合解释对不定方程的作用可然数a的各位数字之和等于5，那么称a为“吉祥数”．将所有“吉祥数”从小到大排成一列aaa，，，见一斑．那么接下来，我们就以这两类不定方程为123"，若a=2012，求a的值．基础，研究如何应用不定方程思想解决较为复杂的n3n组合问题．解方程x12+xx++="km的非负整数解的个数k例1（2002年全国高中数学联赛）已知两个实为Cmk+−1，而使x1≥1，xii≥≥0(2)的整数解个数为m−1数集A={}aa，，，"a与Bbb={}，，，"b，若从C．现取m=5，可知