数值计算方法拉格朗日与牛顿插值法

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1、拉格朗日插值法问题的提出问题的提出插值问题该多项式的函数曲线要经过上已知的这个点同时在其它上要估计误差。当时,求一次多项式,一次插值二次插值拉格朗日插值公式线性插值（一次插值）线性插值插值函数和插值基函数线性插值基函数的特点：1001例子例子二次插值多项式二次插值基本多项式100010001二次插值基本多项式拉格朗日型二次插值多项式例子10152011.17611.3010例2（续）拉格朗日型n次插值多项式插值基函数插值基函数n次拉格朗日型插值多项式Pn(x)例子拉格朗日插值多项式的截断误差拉格朗日插值多项式的截断误差例子例子牛顿插值均差均差的性质均差的性质利用均差表计算均差利用均差的递

2、推定义,可以用递推来计算均差。如下表：如要计算四阶均差,应再增加一个节点,表中还要增加一行。xif(xi)一阶均差二阶均差三阶均差x0f(x0)X1f(x1)f[x0,X1]x2f(x2)f[x1,X2]f[x0,X1,X2]x3f(x3)f[x2,X3]f[x1,X2,X3]f[x0,X1,X2,X3]例子例1：已知1347021512计算三阶均差f[1,3,4,7]例子解：列表计算一阶均差二阶均差三阶均差10321415134712-1-3.5-1.25牛顿插值公式牛顿插值公式例2例2：已知1347021512求满足以上插值条件的牛顿型插值多项式。例2（解）例3xkf(xk)一阶均差

3、二阶均差三阶均差四阶均差五阶均差X-xk0.400.410750.1960.550.578151.11600.0460.650.696751.18600.2800-0.0540.800.888111.27570.35880.1970-0.2040.901.026521.38410.43360.21370.0344-0.4541.051.253861.51560.52600.23100.03460.0003拉格朗日插值与牛顿插值的比较等距牛顿插值公式插值节点为等距节点：hhh……hx1x0x2x3Xn-1Xn差分的概念（向前差分）差分的概念（向后差分）差分的性质（性质1）差分的性质（性质1

4、续）差分的性质（性质2）差分的性质（性质2续）等距节点的牛顿插值公式x1x0x2x3X牛顿插值公式（向前插值公式）牛顿插值公式牛顿插值公式（向后插值公式）例子xiyiΔyiΔ2yiΔ3yiΔ4yi12.718281.763411.143960.742100.481461.54.481692.907371.886061.2235627.389064.793433.109622.512.182497.90305320.08554例子（解）例子（解）