4、数的展开式于是取，得其积分值第五章留数及其应用§5-1函数的孤立奇点及其分类§5-2留数和留数定理§5-3留数在定积分计算中的应用§5-4*对数留数与幅角原理4§5-1函数的孤立奇点及其分类一Δ、函数孤立奇点的概念及其分类二、函数各类孤立奇点的充要条件三、用函数的零点判断极点的类型四*、函数在无穷远点的性态5定义如果函数在不解析,但在的某一去心邻域内处处解析,则称为的孤立奇点.例1是函数的孤立奇点.是函数的孤立奇点.注:孤立奇点一定是奇点,但奇点不一定是孤立奇点.一、函数孤立奇点的概念及其分类6例2指出函数在点的奇点特
5、性.解即在的不论怎样小的去心邻域内,的奇点存在,函数的奇点为总有不是孤立奇点.所以7例3指出函数的孤立奇点解：z=0是函数f(z)的奇点,zk=2/[(2k+1)π](k为整数)是它的孤立奇点.由于当时，，因此,z=0是它的奇点而不是孤立奇点.另外,f(z)在环域内解析，是它的孤立奇点.8讨论函数在孤立奇点的情况的孤立奇点，设为则在去心邻域可以展开成Laurent级数:下面根据cn的不同情况,对孤立奇点分类：其中,C为该去心邻域内围绕点z0的任一条正向简单闭路。9定义若级数中含(z-z0)的负幂项的项数分别为零个,有限
6、个,无穷多个,则分别称z0为f(z)的可去奇点、极点和本性奇点.且当z0为极点时若级数中负幂的系数则称z0为它的m级极点,一级极点又称为简单极点.根据展开式可能出现的不同情况，将f(z)的孤立奇点作如下分类：101可去奇点如果Laurent级数中不含的负幂项,则称孤立奇点称为的可去奇点.定义其和函数在处解析.二、函数各类孤立奇点的充要条件11无论在是否有定义,可补充定义则函数在解析.反过来，若在解析，且存在，则必是的可去奇点。事实上：存在，由在的某邻域有界。12即这样得到下面的结论：13由定义判断:的Laurent级数
7、无负在如果幂项,由极限判断：若极限存在且为有限值,则为的可去奇点.则为的可去奇点的充要条件为为的可去奇点.则注：函数f(z)的可去奇点z0看作它的解析点,且规定14如果补充定义:时,那末在解析.例4中不含负幂项,是的可去奇点.15例5说明为的可去奇点.解所以为的可去奇点.无负幂项另解的可去奇点.为162极点其中关于的最高幂为即级极点.那么孤立奇点称为函数的定义如果Laurent级数中只有有限多个的负幂项,17则由极点的定义18注意到:的极点的充要条件是为函数例6有理分式函数是二级极点,是一级极点.由此得：19的Laur
8、ent展开式中含有的负幂项为有限项.在点的某去心邻域内其中在的邻域内解析,且由定义判别：由定义的等价形式判别：由极限判别：判断.20练习求的奇点,如果是极点,指出它的级数.答案213本性奇点则孤立奇点称为的本性奇点.若Laurent级数中含有无穷多个的负幂项,例如，含有无穷多个z的负幂项特点:在本性奇点的邻域内不存在且不为同时不存在.22综上所述:孤立奇点可去奇点m级极点本性奇点Laurent级数的特点存在且为有限值不存在且不为无负幂项含无穷多个负幂项含有限个负幂项关于的最高幂为234.函数的零点例62425m级零点的
9、判别方法零点的充要条件是如果在解析,那末为的级推论若点z0为函数fk(z)的mk级零点(k=1,2),则z0为函数f1(z)f2(z)的m1+m2级零点；当m1>m2时,z0为函数f1(z)/f2(z)的m1-m2级零点.26m级零点的判别方法零点的充要条件是证(必要性)由定义:设的Taylor级数展开为:如果在解析,那末为的级如果为的级零点27其中展开式的前m项系数都为零,由Taylor级数的系数公式知:并且充分性证明略.28(1)由于知是的一级零点.练习是五级零点,是二级零点.知是的一级零点.解(2)由于答案例7求
10、以下函数的零点及级数:(1)(2)的零点及级数.求29定理如果是的m级极点,的m级零点.证明如果是的m级极点,则有当时,函数在解析且就是那末反过来也成立.三、用函数的零点判断极点的类型30由于只要令那末的m级零点.就是反之如果的m级零点,是那末当时,解析且所以是的m级极点.31说明简便的方法.例8函数有些什么奇点,如果是极点,指出
