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1、..................................~.曰.鞍山师花学使学报·.:一Jo“用以ofA刀s翻功八协月抽以刃知即`招妙2007094203....~................三重积分的计算方法小结杨玉敏,鞍山师范学院数学系辽宁鞍山1取刃7:,摘要三重积分的计算是数学分析中的难点结合教学本文较全面地给出了三重积分计算中的若干处理方法,对学.习者有一定的指导意义:;;关健词三重积分对称性坐标变换中图分类号:0172.2文献标识码:A文章篇号:108-241(20(y7)02(盯叹)(阵
2、MethodsofCacula柱onofTle玩tegralirP一unYANGYmi,ne,几,(及卿叻叱瓜ofM运he加叻油Asnha八乞m回nU动乃匆A甩从切“即114(X)7hcian)吨.,Ah巾旧ct:eealeuliatonOfitrplee『alishtediifeulytinMemiatesan510Inhtisp即erhTinthat吻u,·nngetaehingweigveinseitvemehtodsOfhteealeulaitonofitrpleinetgarlleer娜tIUforamK
3、ey,.n如二Tirplei孚al;Sye;Co记ie滋etrnateentln铆ant三重积分的计算是初学者的一个难点.,教材中给出计算三重积分即要将它化成累次积分了计算公、,,,式换元法和定限法但要具体地实现这一点既要有较强的几何直观能力以便于将积分体表示成适当的形式,又需要灵活选择计算公式和方法,以便于计算l[,2].,为了更其中的方法和技巧学生难以把握快更好地培养学生在这方面的能力,.作者在教学中总结出三重积分计算中的若干处理方法1〔`,1z在直角坐标系下将三重积分转化成三次累次积分进行计算当空间积分区域是
4、由长方体、四面体或任意体形成时,将三重积分转化成累次积分.一,,,例`(,+二+,+:)’d。。:由x+,+`:=0y=o及:=0所成皿一D二二,一:,:-解积分闭区域在xoy面的投影是一个三角形区域刀10``10`y`l}o``l,:一y故三重积分一,,=`’一’,一’一’二,:一,二-(1+:+,+:)d、即(1+,+)、(盯fff冬、于)J理J0J0JO`t,2坐标变换法[’,2](l)当积分区域是柱面、锥面,或由柱面、锥面、旋转抛物面与其它曲面所围成的形体,被积函数为二,+:,,.,+;;y;二,+扩)抓尹
5、)f(z上)xf()斌三)yf(fy(三)计算三重积分一般采取的是柱坐标变换收稿:25一一日期00628..,,:一)女辽宁鞍山人作者简介杨玉敏(1970鞍山师范学院数学系副教授:第2期杨玉敏三重积分的计算方法小结6lx二reoss=,,,,··X:·=rcosn··=rsn,公dx、dZ当,)do一`o)droddzyiodNf(少}月Z=之=x,,.,+d。:x,+=22z=2例2计算I皿(尹)刀尹所围成月劣=rcoso,,,,y=rsins=r0`8`2下0`8`2下0`r`2解用柱坐标变换J5之5乙了Z=Z
6、,二’drr,二。d、*J广0J广o广J普粤j=。,二二二二3I+扩)d刀是由xoy例计算皿(尹平面上的曲线尹x2绕轴旋转而成的曲面与平面月5所围成的闭区域.’.、,,,,、,解曲”二x、`,,`LZ一x一,~一_一~-心几工.二劣.{:贷细爬转脚得田灰转曰回力性刀y+侧名20由于立体在yoz平面的投影为圆域.故采用柱坐标变换y=reoso,,,z=rsinsJ=r0`0三2下O`r`%”}万55X=X=,.则,d。、r、、二广f瓜广缪J0JOJ号J,(2)当空间立体为球体或球体的一部分锥体时被积函数是f(扩++扩
7、)的时候可采用球坐尹标变换.—x=r“nC5r.2{{中夕1’’了“rs,n,`n口沙于rs`n中井}甲一z二rcos,,,,,X,·)d二`n中。。50一`n币S`nor`,产S`n中dod中d.rf(I一少一口月=,·例4计算`d·“:x’++()’`a’,x’+y’`扩所围成子尹一x=rsneosi巾s’利用球坐,,,snraco`=rsnsn,=尸`,0`,`0`0`2下o``“小一了i中ioJ晋{z=rcos币,、.aC,_产漪产咐74.,._只组I=IaUla中!rcos中rsln甲ur二了下a另外此题
8、也可以采用柱坐标变换来做J0JUJU“”〔3〕3利用先二后一的方法计算三重积分,’,·5““:x’+,’+:一a`a’x’+`:’例计算`)尹所围成于鞍山师范学院学报第9卷“”,:解利用先二后一的方法进行计算用平行于xoy面的平面去截积分区域得到D的面积应很容.:易计算故原式为““:dz+:ds=:Zdz+’=二a`厂汀、办厂吓dx衍厂二厂一〔()」、一一晋
