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《4.1 函数及函数的合成》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第6章函数基础上讨论无限集和基数。函数、映射等术语是同义词，函数概念是基本的数学概念之一,也是最重要的数学工具。本章把函数看作一种特殊的关系对其进行讨论,扼要的介绍函数的基本概念和性质,并在函数概念的6.1函数及函数的合成6.1.1函数的基本概念定义设X和Y是集合，如果f是X到Y的关系,且对每一个x∈X，都有唯一的y∈Y，使得∈f,则称关系f为函数，记作如果∈f，则x称为自变量，y称为在f作用下x的像(或f在x处的函数值)。一般用y=f(x)表示∈f。例设X={a,b,c,张三}，Y={1,2,5,4,李四}，f={,,,<张三,2
2、>}则f是从X到Y的函数。函数f的定义域Dom(f)=X函数f的值域Ran(f)={1,2,李四,5}f(a)=1,f(b)=李四,f(c)=5,f(张三)=2由定义可以看出，函数是特殊的关系，它与关系的区别：函数的定义域必须等于X，而关系的定义域可以是X的某个真子集。函数中一个x只能对应一个y，而关系中一个x可对应多个不同y所以，函数一定是关系，但关系不一定是函数。例判断以下各关系f是否为函数?(1)X={1,2,3,4,5}，Y={a,b,c,d,e}f={<1,c>,<3,d>,<4,e>,<2,a>,<5,d>}(2)X={1,2,3,4,5}，Y={a,b,c,d,e}f={<1,c
3、>,<3,e>,<2,a>,<4,d>}(3)X={1,2,3,4,5}，Y={a,b,c,d,e}f={<1,b>,<2,a>,<4,c>,<1,d>,<3,e>,<5,d>}(4)f={
4、x,y∈N且x+y<10}(5)f={
5、x,y∈R且y2=x}(6)X,Y为实数集，f=x2-x(7)X,Y为实数集，解：根据函数定义判断，(1),(6),(7)中f是函数；其余不是函数.定义设函数如果,且对于所有有，则称函数f和g相等记作例设A,B都是有限集,
6、A
7、=m,
8、B
9、=n,则从A到B共有多少种不同的关系?多少种不同的函数？解：，则有种子集，所以A到B就有种不同关系。因为从A
10、到B的任一函数f，其定义域为A,故f中应有m个序偶;对于任意x∈A，可以对应Y的n个元素中的任一个。因此从A到B共有个不同函数。例设A是有限集,
11、A
12、=3，则(1)A到A可定义不同的函数个数为33种。(2)A×A到A可定义不同的函数个数为39种。定义设A,B为集合，所有从A到B的函数构成集合BA，读作“B上A”。即例设A={a,b,c}，B={0,1}，求BA。解：从A到B共有23=8个不同函数故BA={f1,f2,f3,f4,f5,f6,f7,f8}，其中f1={,,}f2={,,}f3={,,}f4=
13、{,,}f5={,,}f6={,,}f7={,,}f8={,,}6.1.2特殊函数定义设函数(1)对任意x1,x2∈X,当x1≠x2时,必有f(x1)≠f(x2)，或者f(x1)＝f(x2)时必有x1＝x2，则称f是单射的(一对一映射)。(2)对任意y∈Y,均有x∈X,使y=f(x)，即Ran(f)=Y，则称f是满射的。(3)若f既是单射又是满射，则称f是双射的(一一对应映射)。单射满射双射例设有函数判断f是单射、满射还是双射？(1)X={a,b
14、,c,d},Y={1,2,3,4}，f={,,,}(2)X={a,b,c,d},Y={1,2,3,4}，f={,,}(3)X={a,b,c},Y={1,2,3,4}，f={,,}(4)X={a,b,c,d},Y={1,2,3}，f={,,,}(5)X={a,b,c,d},Y={1,2,3,4}，f={,,,}解：(1)是双射；(2)因为函数定义域不是X，故f不是函数；(3)f是单射而不是满射；(4)f是满射而不是单射
15、；(5)f是函数，但既不是单射也不是满射。定义设有函数如果存在某个y0∈Y，对于每个x∈X都有f(x)=y0，则f称为常值函数。定义设有函数如果对于每个x∈X都有IX(x)=x，即IX={
16、x∈X}，则IX称为恒等函数。例设有函数判断f是常值函数还是恒等函数？(1)X={a,b,c,d},Y={1,2,3,4}，f={,,,}(2)X={a,b,c
