山东 抽象函数单调性的证明及相关不等式解法的.doc

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1、抽象函数单调性的证明及相关不等式解法的“程序化”抽象函数单调性的证明绝大多数情况下都是用“定义法”去证，其步骤是（1）取值：在给定区间上任取，且；（2）作差：将变形整理为其结果为因式乘积的形式；（3）判断的符号；（4）根据定义作出结论.例题函数对任意的，都有，并且当时，.（1）求证：是上的增函数（2）若，解不等式.解：（1）证明：在上任取，且，则，又时，，所以即是上的增函数（2）又因为是上的增函数所以即解得不等式的解集为点评（1）对于抽象函数单调性的证明就是用“定义法”，先取值，然后马上利用“已知变量的范围及函

2、数值的范围”这一条件，如本题中“当时，”这个条件，由得，所以；在作差中将中的某一个想办法构造出，如本题中，然后利用题设中的等式“”这一条件，将变为从而实现了这一目的.（2）对于抽象函数不等式的证明，必须将不等式一端的常数转化成“某一函数值”，方法是利用已知的含常数等式（如本题中）及题设中的等式（如）去求解，就像第（2）中“”实现了“”这一转化，最后利用的单调性解不等式.小结：在以后遇到抽象函数单调性的证明及相关不等式的求解问题，基本上可以按照以上的步骤及方法去做，稍有不同的地方再具体情况具体分析.巩固练习：已知

3、定义在区间上的函数满足，且当时，.（1）求的值（2）判断的单调性（3）若，解不等式.