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时间:2017-12-08
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1、第一章部分习题解答1.设z1,z2,z3三点适合条件:z1+z2+z3=0,z1=z2=z3=1。证明z1,z2,z=1z3是内接于单位圆的一个正三角形的顶点。证由于z1=z2=z3=1,知Δz1z2z3的三个顶点均在单位圆上。31=z=zz因为333=[]−()z+z[−(z+z)]=zz+zz+zz+zz121211223212=2+zz+zz1212zz+zz=−1所以,1212,2z−z=(z−z)(z−z)=zz+zz−(zz+zz)又12121211221221=2−()zz+zz=31212z−z=3故12,同理z1−z3=z2−
2、z3=3,知Δz1z2z3是内接于单位圆z=1的一个正三角形。2.证明:z平面上的直线方程可以写成az+az=C(a是非零复常数,C是实常数)证设直角坐标系的平面方程为Ax+By=C将11x=Rez=(z+z),y=Imz=(z−z)22i代入,得11(A−iB)z+(A−iB)z=C2211a=(A+iB)a=(A−iB)令2,则2,上式即为az+az=C。3.求下列方程(t是实参数)给出的曲线。z=(1+i)t(1);(2)z=acost+ibsint;i2iz=t+z=t+2(3)t;(4)t,⎧x=tz=x+iy=(1+i)t⇔⎨,−∞
3、4、yx+y,x+yx+y,可得xy−()−yu====−v222222(1)x+yx+yx+y是w平面上一直线;()2222x1x−1+y=1⇔x+y=2x⇔=22(2)x+y2,1u=于是2,是w平面上一平行与v轴的直线。19.试证argz(−π5、im⎛⎜arctany−π⎞⎟⎩−π⎪x→x0⎝x⎠⎪y→0−⎩limargz所以z→z0不存在,即argz在负实轴上不连续。而argz在z平面上的其它点处的连续性显然。5.设⎧3xy⎪,f()z=⎨x2+y6z≠0⎪⎩0,z=0求证f()z在原点处不连接。证由于42xxlimf()z=lim=lim=0264z→0x→0x+xx→01+xy=x6y1limf()z=lim=66z→0y→0y+y2x=y3limf()z可知极限z→0不存在,故f()z在原点处不连接。it6.如果z=e,试证明n1n1z+=2cosntz−=2isinntnn(6、1)z;(2)zn1int−intintintz+=e+e=e+e=2sinntn解(1)zn1int−intintintz−=e−e=e−e=2isinntn(2)z7.设z=x+iy,试证x+y≤z≤x+y2。2222z=x+y≤x+y+2xy=x+y证由于2222222()x+yx+y+2xyx+yz=x+y=≥=及222x+y≤z≤x+y有28.试证:复数z1,z2,z3,z4在同一圆周上或同一直线上的条件是⎛z−zz−z⎞⎜1432⎟Im⋅=0⎜z−zz−z⎟⎝1234⎠证明设z1,z2,z3,z4四点共圆或共线,可知若记z−z14a7、rg=θz−z12z−z34arg=π−θz−z则32,于是⎛z−zz−z⎞⎛z−zz−z⎞⎜1432⎟⎜1434⎟arg⋅=arg⋅=π⎜z−zz−z⎟⎜z−zz−z⎟⎝1234⎠⎝1232⎠z1−z4⋅z3−z2⎛⎜z1−z4z3−z2⎞⎟Im⋅=0⎜⎟即z1−z2z3−z4=实常数,从而⎝z1−z2z3−z4⎠。
4、yx+y,x+yx+y,可得xy−()−yu====−v222222(1)x+yx+yx+y是w平面上一直线;()2222x1x−1+y=1⇔x+y=2x⇔=22(2)x+y2,1u=于是2,是w平面上一平行与v轴的直线。19.试证argz(−π5、im⎛⎜arctany−π⎞⎟⎩−π⎪x→x0⎝x⎠⎪y→0−⎩limargz所以z→z0不存在,即argz在负实轴上不连续。而argz在z平面上的其它点处的连续性显然。5.设⎧3xy⎪,f()z=⎨x2+y6z≠0⎪⎩0,z=0求证f()z在原点处不连接。证由于42xxlimf()z=lim=lim=0264z→0x→0x+xx→01+xy=x6y1limf()z=lim=66z→0y→0y+y2x=y3limf()z可知极限z→0不存在,故f()z在原点处不连接。it6.如果z=e,试证明n1n1z+=2cosntz−=2isinntnn(6、1)z;(2)zn1int−intintintz+=e+e=e+e=2sinntn解(1)zn1int−intintintz−=e−e=e−e=2isinntn(2)z7.设z=x+iy,试证x+y≤z≤x+y2。2222z=x+y≤x+y+2xy=x+y证由于2222222()x+yx+y+2xyx+yz=x+y=≥=及222x+y≤z≤x+y有28.试证:复数z1,z2,z3,z4在同一圆周上或同一直线上的条件是⎛z−zz−z⎞⎜1432⎟Im⋅=0⎜z−zz−z⎟⎝1234⎠证明设z1,z2,z3,z4四点共圆或共线,可知若记z−z14a7、rg=θz−z12z−z34arg=π−θz−z则32,于是⎛z−zz−z⎞⎛z−zz−z⎞⎜1432⎟⎜1434⎟arg⋅=arg⋅=π⎜z−zz−z⎟⎜z−zz−z⎟⎝1234⎠⎝1232⎠z1−z4⋅z3−z2⎛⎜z1−z4z3−z2⎞⎟Im⋅=0⎜⎟即z1−z2z3−z4=实常数,从而⎝z1−z2z3−z4⎠。
5、im⎛⎜arctany−π⎞⎟⎩−π⎪x→x0⎝x⎠⎪y→0−⎩limargz所以z→z0不存在,即argz在负实轴上不连续。而argz在z平面上的其它点处的连续性显然。5.设⎧3xy⎪,f()z=⎨x2+y6z≠0⎪⎩0,z=0求证f()z在原点处不连接。证由于42xxlimf()z=lim=lim=0264z→0x→0x+xx→01+xy=x6y1limf()z=lim=66z→0y→0y+y2x=y3limf()z可知极限z→0不存在,故f()z在原点处不连接。it6.如果z=e,试证明n1n1z+=2cosntz−=2isinntnn(
6、1)z;(2)zn1int−intintintz+=e+e=e+e=2sinntn解(1)zn1int−intintintz−=e−e=e−e=2isinntn(2)z7.设z=x+iy,试证x+y≤z≤x+y2。2222z=x+y≤x+y+2xy=x+y证由于2222222()x+yx+y+2xyx+yz=x+y=≥=及222x+y≤z≤x+y有28.试证:复数z1,z2,z3,z4在同一圆周上或同一直线上的条件是⎛z−zz−z⎞⎜1432⎟Im⋅=0⎜z−zz−z⎟⎝1234⎠证明设z1,z2,z3,z4四点共圆或共线,可知若记z−z14a
7、rg=θz−z12z−z34arg=π−θz−z则32,于是⎛z−zz−z⎞⎛z−zz−z⎞⎜1432⎟⎜1434⎟arg⋅=arg⋅=π⎜z−zz−z⎟⎜z−zz−z⎟⎝1234⎠⎝1232⎠z1−z4⋅z3−z2⎛⎜z1−z4z3−z2⎞⎟Im⋅=0⎜⎟即z1−z2z3−z4=实常数,从而⎝z1−z2z3−z4⎠。
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