第一章部分习题解答

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1、第一章部分习题解答1．设z1，z2，z3三点适合条件：z1+z2+z3=0,z1=z2=z3=1。证明z1，z2，z=1z3是内接于单位圆的一个正三角形的顶点。证由于z1=z2=z3=1，知Δz1z2z3的三个顶点均在单位圆上。31=z=zz因为333=[]−()z+z[−(z+z)]=zz+zz+zz+zz121211223212=2+zz+zz1212zz+zz=−1所以，1212，2z−z=(z−z)(z−z)=zz+zz−(zz+zz)又12121211221221=2−()zz+zz=31212z−z=3故12，同理z1−z3=z2−z3=3，知Δz1z2z3是内接于单位圆z=1的

2、一个正三角形。2．证明：z平面上的直线方程可以写成az+az=C（a是非零复常数，C是实常数）证设直角坐标系的平面方程为Ax+By=C将11x=Rez=(z+z),y=Imz=(z−z)22i代入，得11(A−iB)z+(A−iB)z=C2211a=(A+iB)a=(A−iB)令2，则2，上式即为az+az=C。3．求下列方程（t是实参数）给出的曲线。z=(1+i)t（1）；（2）z=acost+ibsint；i2iz=t+z=t+2（3）t；（4）t，⎧x=tz=x+iy=(1+i)t⇔⎨,−∞

3、t⇔⎨,0

4、+y=2x⇔=22（2）x+y2，1u=于是2，是w平面上一平行与v轴的直线。19．试证argz(−π

5、)z=⎨x2+y6z≠0⎪⎩0,z=0求证f()z在原点处不连接。证由于42xxlimf()z=lim=lim=0264z→0x→0x+xx→01+xy=x6y1limf()z=lim=66z→0y→0y+y2x=y3limf()z可知极限z→0不存在，故f()z在原点处不连接。it6．如果z=e，试证明n1n1z+=2cosntz−=2isinntnn（1）z；（2）zn1int−intintintz+=e+e=e+e=2sinntn解（1）zn1int−intintintz−=e−e=e−e=2isinntn（2）z7．设z=x+iy，试证x+y≤z≤x+y2。2222z=x+y≤x+y

6、+2xy=x+y证由于2222222()x+yx+y+2xyx+yz=x+y=≥=及222x+y≤z≤x+y有28．试证：复数z1，z2，z3，z4在同一圆周上或同一直线上的条件是⎛z−zz−z⎞⎜1432⎟Im⋅=0⎜z−zz−z⎟⎝1234⎠证明设z1，z2，z3，z4四点共圆或共线，可知若记z−z14arg=θz−z12z−z34arg=π−θz−z则32，于是⎛z−zz−z⎞⎛z−zz−z⎞⎜1432⎟⎜1434⎟arg⋅=arg⋅=π⎜z−zz−z⎟⎜z−zz−z⎟⎝1234⎠⎝1232⎠z1−z4⋅z3−z2⎛⎜z1−z4z3−z2⎞⎟Im⋅=0⎜⎟即z1−z2z3−z4=实常数

7、，从而⎝z1−z2z3−z4⎠。