矩形草坪上无缝喷灌系统的设计

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1、矩形草坪上无缝喷灌系统的设计摘要这个问题的本质就是用一系列（相同半径或不同半径）的圆形来覆盖一个平面区域.题中给的5028的草坪就是这个待覆盖的矩形区域,而浇灌半径为1米、2米、5米的喷头实际上可以等效为半径为1、2、5的圆形.第一问是要求我们只使用半径为1米的圆形来覆盖这个矩形区域,求最少需要多少个圆.用于圆形不是多边形,所以无法在平面上进行平铺,这就导致了如果让圆形两两相切的话在圆与圆之间会留有空隙.为满足“任意点都能被浇到”这一条件,就需要圆形相接.相接的圆形的交点可以连成多边形,而这个

2、多边形恰恰就是有效面积.从圆的内接多边形在平面上平铺来考虑,可以发现有效面积是正六边形的时候浪费最少.在这种情况下再用矩形去截,从而找到使用喷头数目最少的方案.经过讨论,我们得出的结论是最少需要使用喷头560个,具体方案在模型的建立与分析中给出.第二问脱离了矩形区域的限制,但还是使用同一种半径的圆形,求在覆盖区域内可以截取的最大矩形.这个问题的难点在于怎么排列可以截取出矩形而浪费的最少.我们依然用第一问的方法考虑,正方形的平铺可以正好组成矩形,而正六边形的平铺可以做到面积最大,所以我们只考虑这两

3、种图形的平铺问题.用正方形的话,半径为1的喷头可以浇灌的最大矩形而使用六边形的话由于不同的排列方式可以覆盖的最大矩形面积还不同,较难以写出一个确定的式子,所以我们写出一个程序来找出最大值.最后发现(以半径为1为例)n小于10和n等于11的时候正方形的排法最大,即最大面积为2n；n等于其他值时六边形排法的面积最大,具体值可以由程序求出.对于半径为2和5的喷头,其规律与半径为1的相同,只是面积扩大了4倍、25倍.第三问给出了两个约束条件,无法同时满足,按照我们对题目要求的理解,应优先满足使用喷头数目

4、最少这个条件,然后在这个基础之上再来调整使得浪费最少.应尽量使用浇灌半径大的喷头,所以先用半径为5的圆形进行讨论,空缺的地方再用其他两种来补全.最终我们找到得方案是使用浇灌半径为5的喷头26个,使用浇灌半径为1的喷头4个,共使用喷头30个.11问题重述有一块长宽分别为50米以及28米的矩形草坪区域,要在其内部设立若干个喷头用来自动浇灌这块草坪.现有浇灌半径分别为1米,2米和5米三种规格的喷头可供使用.要求草坪中的任一点都能被浇灌到.1.若所有的喷头都使用浇灌半径为1米的喷头,至少需要在草坪上设多

5、少个这种规格的喷头.2.设表示n个相同规格的喷头所能浇灌的最大矩形草坪区域的面积(n=1;2;3;…),试确定的值.3.若三种规格的喷头都允许使用,试设计一种你认为合理的浇灌方案,使得:i.喷头个数尽可能少;ii.尽可能合理利用水资源,即要求溢出草坪部分的浇灌面积尽可能少.2模型假设1.喷头的位置都在草坪内.2.每个喷头的喷灌区域都是正圆.3问题分析由于每个喷头喷水都是均匀的,所以将这个问题转化为用一系列半径已知的圆形来无空隙的覆盖矩形的问题.第一问规定只使用浇灌半径为1米的喷头,也即用半径为1

6、的圆形来覆盖.从图形我们可以很容易看出,如果想要无空隙的覆盖这个矩形区域,各个圆之间一定会有重叠的部分,即重复浇灌区域;而在矩形的边缘一定会有被矩形切割在外的部分,即浪费的面积.想要使得用的喷头数量最小,就要求重复面积和浪费面积的和最小.几个圆相接的接点可以连成多边形即为有效的面积,所以我们通过圆的内接多边形来分析求解这个问题.第二问的分析方法基本和第一问相同,均为使用同一种规格的喷头来浇灌,区别在于第二问让我们求解不同数量情况下可覆盖的最大面积,而不同数量时圆的排列方式不同,相接的方法也不同,

7、最终取到的最大面积也不同,需要我们求出几种排列方式之间的临界值然后讨论.第三问共有两个约束条件,分析问题可知,这两个约束条件很可能不同是满足.24符号说明a矩形草坪的长.b矩形草坪的宽.n问题二中一共使用的喷头数目.S问题二中的围成的矩形的面积.Sf问题一中的有效面积.5模型的建立与求解5.1问题一的求解圆的内接多边形,正多边形面积最大,所以考虑正多边形.首先,我们不考虑矩形边界,先讨论多边形平铺的问题.平铺还可以分成以下两种情况:i.只使用一种多边形进行平铺ii.使用多种多边形进行平铺,如图1

8、.但是第二种情况要求不同的多边形的边长相同.这与“半径为1的圆的内接多边形”相矛盾;而如果不内接在圆内,又会使重复面积增大.所以,第二种情况不予考虑.第一种情况中,经过对其内角的讨论,确定可以平铺的多边形只有三种,即正三角形,正四边形,正六边形.如图2所示.然后,我们再讨论重叠面积的大小.将圆心与正多边形的一条边连成三角形,设圆心角为,阴影部分即为平均每个圆对应在角上的重复面积S1:S1=sincos(1)222则平均每个圆的有效面积Sf:2Sf=S1(2)sin=