无缝喷灌系统的设计.doc

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1、矩形草坪上的无缝喷灌系统的设计摘要◆无缝喷灌矩形草坪的问题，就是用若干个圆无缝覆盖某个固定的矩形的问题，而由于圆周为弧线，因此必定存在重复覆盖。对于采用若干相同规格的喷头，即用相同半径的圆覆盖矩形的情况，本文将圆形有重叠覆盖问题，转化为正多边形无重叠覆盖的问题（其中多边形的各顶点即为各圆的圆心），并引入重复覆盖率的概念，用于评价被重复覆盖的面积大小。在矩形面积远大于每个圆的面积的情况下，重复覆盖率实际上就是所有圆的面积与矩形面积之差，相对于矩形面积的比率。由于矩形面积恒定，且每个圆的面积相同，因此重复覆盖率越

2、大，则所有圆的总面积越大，亦即圆的个数越多。因此最优化问题转化为使重复覆盖率最小的问题。◆对于正多边形无重叠覆盖的问题，需要确定正多边形的边数。本文通过研究多边形的边数对重复覆盖率最小值的影响，证明了无论圆的半径是多少，转化为多边形无重叠覆盖问题后，最优的多边形选择都是正三角形。接着，本文分类讨论了各种覆盖方式，求得最优方案，即使圆的个数最少的方案。半径为1时，最少需560个喷头可覆盖50×28的矩形区域。◆对于求个数一定的相同规格喷头所能覆盖的最大矩形面积的问题，由于并不限制矩形形状，故可求得有最大矩形面积

3、的情况是：各圆一字排开，并与相邻圆相交的情况。当圆的个数一定时，矩形面积仅与两交点间的线段长有关，通过简单的计算即可得矩形面积最大值。圆个数为n，半径为1、2、5时，可覆盖的最大矩形面积分别为2n、8n、50n。一、问题重述有一块长宽分别为50米以及28米的矩形草坪区域,要在其内部设立若干个喷头用来自动浇灌这块草坪.现有浇灌半径分别为1米,2米和5米三种规格的喷头可供使用.要求草坪中的任一点都能被浇灌到.(1)若所有的喷头都使用浇灌半径为1米的喷头,至少需要在草坪上设多少个这种规格的喷头.(2)设表示n个相同

4、规格的喷头所能浇灌的最大矩形草坪区域的面积(n=1,2,3,…),试确定的值.(3)若三种规格的喷头都允许使用,试设计一种你认为合理的浇灌方案,使得:(i)喷头个数尽可能少;(ii)尽可能合理利用水资源,即要求溢出草坪部分的浇灌面积尽可能少.二、模型假设1、设喷头的灌溉区域为正圆；2、假定灌溉模型为理想模型，即喷头的洒水量在整个灌溉区域内是均匀的；三、符号约定：正多边形的边数：圆周半径：重复覆盖率：总的阴影部分面积：正多边形的面积：每个阴影部分的面积：矩形区域的长：矩形区域的宽：矩形长度范围内可以容纳的三角形

5、个数：矩形宽度范围内可以容纳的三角形个数：使用喷洒半径为的喷头所需的最少的喷头数四、问题的分析与模型的建立1．第一问的分析及求解1.1没有重复灌溉时的最优化情况由题设可知，各个碰头的浇灌范围是圆形。由于采用的喷头的规格是一样的，即各个圆的半径相同，那么达到最优化的方式只能是各个圆都相切。但是不同的个数的圆相切的方式是不一样的，即各个圆心相连构成的正多边形不同，下图以3个圆和4个圆为例说明，3个圆相切时圆心构成正三角形，4个圆相切时圆心构成正方形。图1图21.2考虑重复灌溉时的最优化情况由于要求草坪上每点都要灌

6、溉到，必然会出现重复灌溉的情况。在1.1的基础上，我们需考虑如何把几个圆中间的空隙部分填满。在空隙部分再放一个喷头时重复灌溉面积很大，在此我们考虑将个圆以相同速度往多边形的中心靠拢至恰好把空隙填满。图3、4分别是3个圆和4个圆收缩之后的情形，可以此类推个圆收缩之后的情形。图3图41.3计算各个情形下的重复覆盖面积因为多边形的面积大小不同，在此引入一种评价准则：重复覆盖率——单位面积上的覆盖大小（图3、4中蓝色部分乘以2即重复灌溉的区域）。重复覆盖面积越小，重复覆盖率越小，则所需的碰头个数越小，即最小覆盖率与最

7、少喷头数等价。先计算三角形的重复覆盖率，然后扩展为正多边形的重复覆盖率。评价的准则是看圆周半径为不同值时的重复覆盖率最小的，可以证明出最小的都是3，所以无论圆周半径是多少，能达到最优化的必要条件是三角形的拓扑结构。以下为证明过程:假设问题是在全平面上，不考虑边界处的扰动。令三角形的边长为，由图3得三角形的面积为令，则w代表总的阴影部分的面积，代表重复覆盖率，则：同理，多边形的面积为：，设固定，对求导，得出以为自变量当达到极小值时的大小（程序见second.m）。以下为取不同值时，各个多边形的重复覆盖率。图5=

8、1图6=2图7=3图8=4图9=5由上图可知，无论为何值，=3时取最小值，即无论边长是多少，最佳的拓扑结构是正三角形拓扑。此时，问题从有重叠部分的圆转化为三角形无重叠叠放问题。可以看出三角形的边离外围有最短的路径，所以选择矩形区域最长的边，使三角形的边平行于它，同样考虑矩形上边与三角形边的间隔和左边离三角形顶点的间隔。假设。考虑问题的一般性，我们在此求出问题的通解。分情况讨论：令第一行所排喷头的个数