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《矩形草坪上无缝喷灌系统的设计问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、袁秋兴101270038工程管理学院罗怡达101099080商学院金融与保险学系胡扬阳091110037数学系矩形草坪上的无缝喷灌系统的设计摘要:无缝灌溉问题的实质就是用一系列（相同半径或不同半径）的圆形来覆盖一个平面区域，同时也可以理解为用一个固定形状的矩形去截相同半径或者不同半径的圆铺成的平面。我们把题目抽象化，矩形草坪就相当于5028的矩形，浇灌半径为1米、2米、5米的喷头实际上可以等效为半径为1、2、5的正圆。第一问是要求我们只使用半径为1米的圆来覆盖这个矩形区域,求最少需要多少个圆。当正圆相互相切的时候，能够比较“节省”正圆，但是这样会不能完全覆盖矩形
2、区域。因此需要把正圆往中心靠拢，靠拢的程度如何直接影响到题目最终的结果。因此我们引进了“K值”来判断圆的利用率，并且基于这个引入的量，我们证明了两个有用的命题——在三个圆的情况下，三个圆相交于一点且三个圆的圆心连线构成正三角形时，得到的K值最大，也就是圆的利用率最大。并且基于同样的原理算出四个、五个、六个圆甚至更多圆的情况，通过比较发现在三个圆的情况下，K值最大，也就是圆的利用率最高。因此在第一问中考虑用这样的组合方式来覆盖矩形。假设平面上按照这样的方式铺满了正圆，我们考虑矩形如何放置能使得完全覆盖之余需要的正圆数目最少。经过研究，我们得出的结论是至少需要560
3、个喷头才可以覆盖整个矩形区域。第二问要求n个相同规格的喷头所能浇灌的最大矩形草坪区域的面积，求出f(n)的值。我们先从n=1,2,3开始研究，发现在圆的数量比较少的时候，“直排法”是能够使得内接的矩形面积最大的方法。但是当正圆的数量增加到一定的程度以后，“斜排法”也能够满足条件，而且比“直排法”更加有效。我们先推导两种具体的“斜排法”下的安置方式的具体公式，再通过C++编程求出具体的f（n）值。发现可知当n和n=13时，用正排法好；当n>11和n13时，用斜排法得到的面积要比直排法大，此时斜排法好。第三问给出了两个约束条件,按照我们对题目要求的理解,应优先满足使
4、用喷头数目最少这个条件,然后在这个基础之上再来调整使得浪费最少。应尽量使用浇灌半径大的喷头,所以先用半径5米的圆形进行讨论,空缺的地方再用其他两种来补全。最终我们发现找到得方案是使用浇灌半径为5的喷头26个,共使用喷头26个。关键词:无缝喷灌圆14一、问题重述有一块长宽分别为50米以及28米的矩形草坪区域,要在其内部设立若干个喷头用来自动浇灌这块草坪.现有浇灌半径分别为1米,2米和5米三种规格的喷头可供使用。要求草坪中的任一点都能被浇灌到。(1)若所有的喷头都使用浇灌半径为1米的喷头,至少需要在草坪上设多少个这种规格的喷头。(2)设f(n)表示n个相同规格的喷头
5、所能浇灌的最大矩形草坪区域的面积(n=1,2,3,…),试确定f(n)的值。(3)若三种规格的喷头都允许使用,试设计一种你认为合理的浇灌方案,使得:(i)喷头个数尽可能少；(ii)尽可能合理利用水资源,即要求溢出草坪部分的浇灌面积尽可能少。二、条件假设1.假设喷头的大小可忽略不计，洒水量在整个覆盖区域是均匀的。2.假设喷头喷洒的范围是严格的正圆。3.喷头的位置都在草坪内。三、符号约定Kn正圆的数目r正圆的半径S面积四、模型建立与求解(一)第一问分析及求解：第一问要求只用浇灌半径为一米的喷头使得整个矩形草坪每一处都能被浇灌到，求至少需要多少个喷头。由于每个喷头的浇
6、灌半径是一样的，因此我们把每个喷头和它的浇灌范围一起等效于一个半径为一米的正圆。题目的意思就变成，使用半径为一米的正圆来覆盖形状固定的矩形，至少需要多少个这样的正圆。容易知道，当正圆相互相切的时候，能够比较“节省”正圆，又覆盖矩形。正圆相切的情况有很多种，例如三个正圆相互相切，四个正圆相互相切等等。我们举例作出图形如下所示：14图一：多个正圆相切图可见这样相切的情况下，中间部分的草坪没有被覆盖到，如果另外安置一个圆，那么肯定造成比较大的浪费，因此考虑正圆之间相交，使得中间部分也能被覆盖。如下图所示：图二：多个正圆向中心靠拢形成图从图中我们已经可以看出，当正圆向中
7、心靠拢，正圆个数越多，靠拢到一点的时候，相邻几个正圆之间重复覆盖的面积越大，这样，正圆的利用率就越低，因此需要的正圆的个数越多。下面我们先引入一个量来作为标准衡量哪种情况最优。我们的想法是先不考虑矩形边界的情况，即无界情况，这时引入这样一个量：，我们想找到一种覆盖情形使得k最大，那么圆的有效利用率就最大。然后基于这个引入的量，下面我们证明两个命题：1)三个圆的情形下，要想k取最大值，三个圆必然交于一点。图三：命题一配图证明：运用反证法，先假设如左图所示，K取到最大值，三个圆没有交于一点。现在我们先固定B圆和C圆不动，向上移动A圆，此时A圆没有包含在Ｂ圆和Ｃ圆中的
8、面积增大，所有圆覆盖的面
