一般状态空间跳过程的遍历性-论文.pdf

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1、毪数学物理学报http：／／actams．wipm．ac．en一般状态空间跳过程的遍历性，张水利张绍义(湖北大学数学与统计学院武汉430062；。平顶山学院数学与信息科学学院河南平顶山467000)摘要：该文研究了一般状态空间跳过程的遍历性，得到了与连续时间可数状态空间马氏链类似的结果．关键词：跳过程；遍历性；q对；细集．MR(2000)主题分类：65F05中图分类号：O211．4文献标识码：A文章编号：1003—3998(2014)04—859—201引言和结果遍历性是马氏过程中一个非常重要的概念，如何判断马氏过程是否遍历一直是国内外许多学者研究的课题．Chen[](定理4．44，定理

2、4．45)和Meyn，Tweedie[](定理13．0．1)分别给出了连续时间可数状态空间马氏链(Q过程)和离散时间一般状态空间马氏链遍历性的充要条件．Meyn，Tweedie[。]给出了连续时间一般状态空间马氏过程遍历性的一个充分条件．定理A【】设Q=(qij)，i，J∈H={1，2，3，⋯)是正则不可约Q一矩阵，相应的Q过程是{：t0)，存在H的有限非空子集c，令Jx：：inf{t>0，Xt≠Xo)是第一次跳跃时刻，q-C：=inf{tJ1，Xt∈)，则下列三个条件等价(1)Q过程{t：t0}是遍历的．(2)sup【TCI<。。．iEC(3)方程2I∑qijXj一1，i∈C，Jf]】

3、1IL∑∑％<。。一iEC有有限非负解．而我们考虑的是一般状态空间跳过程的遍历性，得到与定理A类似的结果．设(，)是波兰空间，是E上的Borel代数．如果没有特别说明，本文总是设q对(口(z)，q(x，))是正则的，且q(x)>0，所对应的跳过程{Xt：t0)是完全可分、轨道右连续且具有强马氏性，转移概率函数为{P(，X，A)：t0，XEE，A∈}(相应半群是{P})．我们对具有相同收稿日期：2013—03—22；修订日期：2014—05—03E—mail：zhangshuilicong~126．corn；zhshaoyi@aliyun．com通讯作者860数学物理学报VO1．34A转移

4、概率函数的跳过程不加区分，所以也称P(t，X，A)是跳过程．本文与跳过程相关的概念与引理主要来自文献【1I．令：三0，：=inf{t>一1，Xt≠一}，礼1，则表示过程{：tO}的第礼次跳跃时刻，对任一个可测集A，常数>0，可测函数，令O"A：=inf{t0，Xt∈A)，TA：=inf{tJ1，Xt∈A)，．rA(5)：=inf{t6，Xt∈A)，，。。，qA：=／xcA}dr，fW(x)：=／g(，dy)V(y)一g()()，∈E．J0JE定义1．1称集合C∈是跳过程的细集(有时简称细集)，如果存在f0，。。)上的一个概率分布a，以及上的非平凡测度，使得P。。K。(，A)：=／P(t，

5、，A)a(dt)ua(A)，V∈C，A∈￡．0定义1．2称上的0-有限测度7r是跳过程P(t，zA)的不变测度，若f7r(dx)P(t，，A)=7r()，Vt≥0，A∈．定义1．3[]称马氏过程{：t0}是Harris常返的，如果对某个O-有限测度，当()>0，有(qA=。。)三1，Vx∈E．称马氏过程{Xt：t0)是正Harris常返的，如果{￡：t0)是Harris常返的，且存在唯一的有限不变测度丌．定义1．4[。】称马氏过程{t：t0}是遍历的，如果存在一个不变概率测度，且．1iinP(t，，·)一丌(·)ll=0，V∈E，其中lf．1I表示全变差范数．为了方便我们首先给出一个条件

6、．条件(C)存在跳过程的闭细集C∈，满足0

7、马氏链，方程(1．1)有处处有限的非负解．定理1．5的证明分为四个引理，利用最小非负解理论证明(1)与(2)等价(引理6．7)；利用比较定理，证明(2)(3)成立(引理6．8)；利用引理6．4，证明(3)(4)成立(引理6．9)；最后，利用骨架链的正则集，证明了(4)(2)成立(引理6．1O1．No．4张水利等：一般状态空间跳过程的遍历性8612预备知识我们首先给出一些定义和记号，设{，tO)是定义在完备概率空间(Q，，P)上取值于