由加菲尔德构图引发的思考——构造图形巧解题-论文.pdf

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1、高中戡学教与学2014聋由加菲尔德构图引发的思考——构造图形巧解题梁昌金(安徽省六安市寿县第一中学，232200)最近，我们学校出了一期以数学史为主面对数学题目时，若想有效解题，则需转换与题的黑板报，其中美国的第二十届总统加菲拓宽信息，将数学问题变得更具体化，从而找尔德提供的一种巧妙证明勾股定理的方法引到解题突破口．而构造图形是将抽象、复杂的起了笔者极大的兴趣。他把两个同样大小的问题简单化、具体化的有效途径．矩形一横一竖地排在一起(如图1)，然后给出一、构造图形。求三角函数值下面证法．例1(2013年重庆高考

2、题)4cos50。一tan40。的值为()(A)A-(B)二(C)(D)2一1C6分析40。、50。虽非特殊角，但注意到4o。+50。=90。，那么可以构造一个锐角为图150。的直角三角形．证明连结BE、BD、DE，很容易证明ABELBD．·‘S梯伽=I(AE+CD)AC．CD：(。+6)(6+a)图2=(。+6)，解如图2，构造RtAABC，使／_ABC：又‘．‘S梯形A伽=S△^艇+．s△cD+S△胱30。，AB=2，则AC=1．=2⋯+2⋯6+2’在BC延长线上取一点D，使／_DAC=40。，这样CD=

3、tan40。．在AABD中，由正弦‘．(。+6)。=6++}。，定理，有化简得口+b。=c．旦一墨sin50~一sin100~’勾股定理通过构图法就这么简单地被证明了，有人形象地说美国总统将竖立的两块则肋==4cos50。，砖头踢倒后便证明了勾股定理．·．．4cos50。一tan40~：BD—CD笔者深受启发，同时也引发思考．当我们．20·第5朝高中教学教与学=BC=选c．法法则知四边形AOBC构成A=60。的菱二、构造图形。解三角形形，／_xOA：150。，Z．xOB=30。．Y．0<<仅例2设Z~ABC的

4、内角A，日，c的对边分<竹，故=，JB="IT别为口，b，c．A，B，C成等比数列，且b一a。=，L口c，求角曰．J_c解由b一0=aC，得(b一Ⅱ)(b+口)=O,C．①由A，B，c成等比数列，得／B=AC。②又A++C：竹．③图4图5由①式可以联想相交弦定理，构造如图例4(2011年全国高考题)设向量口，6，3所示图形：以c为圆心、为半径作0c，交1c满足I口I=1，l6I=1，口·=一÷，<口一直线CB于点D、，交AB延长线于点F，则DB‘=6+口，BE=6一n．据相交弦定理，DB·BEc，一c>=60

5、。，则IcI的最大值为()=AB·，，即(A)2(B)√3(C)√2(D)1(b一口)(b+d)=c·BF，分析本题按照题目要求构造出如图6与①式比较，得BF=nBC，于是所示的几何图形，然后分析、观察，不难得到B=2A．(当线段AC为直径AC时，IcI最大．日由②③④，解得B．DA图6图3解=a，AD=6，AC=c，／BAD=120。，∞=60。，则A、B、C、D四点共圆，三、构造图形。求解向量问题分析可知当线段AC为直径AC时，lcI最大．例3(2013年江苏高考题)已知口=连结BD，在LXABD中，由余

6、弦定理，可求(cos吐，sin)，=(COS，sin卢)，0

7、具有角形，故AO上BO，即a上西．直观性，更易理解，有利于增强学生思维的灵。——(2)’．’o--d=c=(0，1)表示单位圆上的活性，开拓解题思路，提高解题能力．点c(o，1)(如图5)，又口+=c'．．．由向量加·21·