不定方程的解与排列组合的巧妙运用-论文.pdf

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1、试题研究>试题探究数学教学通数学教学通讯讯（（中等教教师版）育）投稿邮箱院sxjk@vip.163.com不定方程的解与排列组合的巧妙运用钟建芳江西南康中学341400谊摘要院本文从不定方程的正整数解的个数与隔板法的组合数的对应关系袁得出求关于组合数中隔板法的中两种模型袁然后从这两个模型出发袁得出求排列组合一类问题可用不定方程解的个数结合隔板法来等教解决袁起到了非常简便和实用的效果援育关键词院不定方程曰排列组合曰综合应用在排列组合的问题中袁我们常常会模型2不定方程x+x+噎+x=m共有住8种排列方法袁先将排列好的8个12n8碰到把若干相同的元素分成几组袁每个（m，n沂N*，且m逸n逸1）的非

2、负整数解男生身后再排上若干个女生袁将排上的组至少要有一个元素袁问分法数有几渊x1袁x2袁噎袁xn冤的个数援女生数依次记为x1袁x2袁x3袁噎袁x8袁显然x1+种钥其问题的实质就是用隔板法求排列分析院由0臆x1袁x2袁噎袁xn臆m.不妨x2+x3+噎+x8=25袁其中xi逸2渊i=1袁2袁噎袁8冤援组合数的问题援隔板法中强调的是每组令x1=y1原1袁x2=y2原1袁噎袁xn=yn原1袁则y1+y2+由前面的例子可知袁方程合乎要求的解元素的个数袁而与每组包含哪个元素无噎+yn=m+n袁其中1臆y1袁y2袁噎袁yn臆m+1袁有C7组袁对于每一组符合要求的解对应16关援即原不定方程的非负整数解即为不

3、定着A25种女生的排列组成圆排列时袁方法25常见的隔板法问题如下院方程y1+y2+噎+yn=m+n的正整数解的个1种数一共有院窑C7A8A25种援16825例1渊1冤6本完全相同的书分给4数袁即Cn-1援8m+n-1人袁每人至少1本袁有几种分法钥然而袁在我们经常碰到的问题中袁问题的拓展院把1996个女生和10个渊2冤6本完全相同的书分给4人袁允每组的数目要求不尽相同袁且被分的元男生排成一列袁自左至右每相邻两个男许有人分不到书袁有几种分法钥素又要区别对待袁该如何根据实际情况生之间分别至少有4尧5尧6尧7尧8尧9尧10尧分析院渊1冤可以设想把6本书排成一分组呢钥建立在以上两个基础模型的基11尧1

4、2名女生袁问有多少种不同的排法钥排袁要分成4堆袁可以想象成用了3块板础上袁我们可以这样解决此类问题援例分析与解法院首先将10名男生排成插到5个空位中袁第一块板之前的为第如院一排共有A10种排法袁10个男生之间可产10一个人得书数袁第一块板和第二块板之例2渊1冤8名男生与25名女生排成生11个空格袁为求女生的排法袁先将这间的为第二个人得书数袁第二块板和第一列袁任意相邻两名男生之间至少有两些空格所排的女生依次记为x1袁x2袁x3袁三块板之间的为第三个人得书数袁第三名女生的排法有多少种钥噎袁x11援显然有x1+x2+x3+噎+x11=1996援块板以后的为第四个人得书数袁故排法渊2冤8名男生与25

5、名女生沿圆周排依题设袁x1逸0袁x2逸4袁x3逸5袁噎x10逸数有C3=10种援成一圈袁任意相邻两名男生之间至少有512袁x11逸0袁女生插空的方法对应着方程渊2冤可以在渊1冤的基础上袁将野允许两名女生的排法有多少种钥x忆1+x忆2+x忆3+噎+x忆11=1996+2-渊3+4+噎+有人分不到书冶与野至少有一本冶建立一分析与解法院渊1冤首先将8名男生排11冤袁一对应关系袁由野0冶个变为野1冶问题等价成一列袁共有住8=40320种援8个男生之间即x忆+x忆+x忆+噎+x忆=1935的正整812311于有10本相同的书分给4人袁每人至少可产生9个空格袁为求女生的排法袁先将数的解为C10袁而每一种

6、插空的方法对19343有一本袁即分法数有C9=84种援这些空格所排的女生依次记为x1袁x2袁x3袁应女生的排列数为A1996袁故所求的排列1996我们可以将上面两种问题归类袁可噎袁x9袁显然有x1+x2+x3+噎+x9=25援数为C10A10A1996援1934101996看成隔板法的两种基本模型援依题设袁x1逸0袁xi逸2渊i=2袁3袁噎袁8冤袁试想袁此类题如果不结合不定方程模型1不定方程x1+x2+噎+xn=m.x9逸0袁女生插空方法数对应着方程x忆1+解的个数模型来解决的话袁那将会是多（m，n沂N*，且m逸n逸1）的正整数解渊x袁x忆+x忆+噎+x忆=20的正整数解个数为C9援1239

7、19么复杂的而又难以解决的问题袁我们不x2袁噎袁xn冤的个数援而每一种插空方法对应着女生的A25种得不感叹不定方程在排列组合中解决25分析院正整数中最小值为1袁即至少排列袁所以所求的排法数有院C8住8A25种援问题的神奇之处援19825取1袁故解的个数有Cn-1种援m-1渊2冤首先考虑将8个男生排成一排袁54