数学压轴题之如何巧妙构造函数.doc

《数学压轴题之如何巧妙构造函数.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、2015之构造函数14．（本小题共14分）已知，函数，，.（Ⅰ）当时,求函数在点的切线方程；（Ⅱ）求函数在的极值;（Ⅲ）若在区间上至少存在一个实数，使成立，求正实数的取值范围．解:由求导得，.…………1分（Ⅰ）当时,…………3分所以在点的切线方程是…………4分（Ⅱ）令,(1)当即时(-1,0)0+0-0+↗极大值↘极小值↗………6分故的极大值是;极小值是;…………7分(2)当即时在上递增,在上递减,…………8分所以的极大值为,无极小值.…………9分（Ⅲ）设.对求导，得，……………10分因为，，所以，在区间上为增函数，则.……12分依题意，只需，即，即，解得或（

2、舍去）.所以正实数的取值范围是.……14分11．（本题满分14分）已知函数（其中a为常数）。（1）如果函数有相同的极值点，求a的值；（2）若方程恰有3个不同的根，求实数a的取值范围。（3）设，问是否存在，使得，若存在，请求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由。12．（甘肃省天水一中2013届高三下学期五月第二次检测（二模）数学（理）试题）设函数,其中.⑴当时,判断函数在定义域上的单调性;⑵证明对任意的正整数,不等式成立.【答案】 16.已知函数.(1)若曲线在处的切线方程为，求实数a的值；(2)若f(x)的值域为，求a的值；(3)若a<0，对任意.，且，

3、恒有，求实数a的取值范围.13.(河北省石家庄市2013届高三下学期第二次质量检测文)(本小题满分12分）已知函數f(x)＝lnx＋mx2（m∈R）(I)求函数f(x)的单调区间；(II)若A，B是函数f（x）图象上不同的两点，且直线AB的斜率恒大于1，求实数m的取值范围。学&科&网Z&X&X&K]解：(Ⅰ)f(x)的定义域为，…………2分时，>0,在上单调递增;时，<0,在上单调递减.综上所述：在上单调递增,在上单调递减.……………5分(Ⅱ)依题意，设，不妨设，则恒成立，…………6分,则恒成立，所以恒成立，令……………8分则g(x)在为增函数，所以，对恒成立

4、，…………10分所以，对恒成立，即，对恒成立，因此.……………12分15．（本小题满分14分）已知，，直线与函数、的图象都相切，且与函数的图象的切点的横坐标为。(Ⅰ)求直线的方程及的值；(Ⅱ)若(其中是的导函数)，求函数的最大值；(Ⅲ)当时，求证：。解析：解：(Ⅰ)，.∴直线的斜率为，且与函数的图象的切点坐标为.∴直线的方程为.……………………2分又∵直线与函数的图象相切,∴方程组有一解.由上述方程消去，并整理得①依题意，方程①有两个相等的实数根，解之，得或.………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，.∴当时，，当时，.∴当时，取最大值，其最大值为2.(Ⅲ).………

5、11分，，.由(Ⅱ)知当时，∴当时，，.∴.………………………14分16.【山东省师大附中2013届高三上学期期中考试数学理】（本题满分14分）已知函数（I）讨论的单调性；（II）若有两个极值点，证明：