平面问题主应力与主应变方向确定的简捷方法

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1、维普资讯http://www.cqvip.com洛阳师范学院学报2007年第2期平面问题主应力与主应变方向确定的简捷方法杨俊森，李作良，徐红玉，王彦生(河南科技大学建筑工程学院，河南洛阳471003)摘要：平面应力和平面应变状态下主应力和主应变方向的确定，无论是在工程应用还是在材料力学教学中都是非常重要的难点。本文提出了一种既易于理解又便于掌握的简捷实用方法。关键词：平面应力状态；主应力；平面应变；简捷方法中图分类号：G642．474文献标识码：A文章编号：1009—4790(2007)02-0157—03收稿日期：2006一l1—16作者简介：杨俊森(1954一)，男，河南淅川人，讲师

2、。可以求得。但问题在于由式(2)求出的是相差901问题的提出度的两个角度，即图1中两个主应力与两个主方对于图1所示基本单元体的应力图，0-向角如何对应。由文献[1]可知：在平面和Ot。的符号规定在一般材料力学教应变状态分析中的、、等分别相当于二材中都是一致的，为叙述方便而又不失一般性，将xy平面内的最大与最小正应力(即主应力)分向应力状态中的且有公式：别记为、，同时对应地将0-与轴正向之间的夹角记为Ot，将0-与轴正向之间的夹角：}=字±√cc，记为Ot，则由文献[1]有：(3)J’ttan2一(4)同样存在着仅由公式无法确定主应变、与主应变方向角OtOt之间的对应关系。近年来也有不少论

3、文t·，·对该问题做了论述，归纳起来有以下几中方法：———1．借助应力圆或应变圆通过图解法来判断第一主应力或主应变及其方位角。2．先利用式(2)或式(4)求出。、Ot。+,-f代人任意斜截面的应力或应变公式求出两个代数值，根据代数值的大小来判定何为()、0"2图1平面基本单元应力图(2)，以及l、Ot2。3．由式(2)中分子及分母的正负号判断2。O"10"max0"x-所在的象限，再结合图1中与的矢量方向==·，2

4、li2I-0"y一√、0"x2-0">'，2’。2确定、的方向。(1)4．利用高等数学中求极值的方法，由式(2)tan2。：一(2)求得Oto以及。+孚，代入导并确定其代数值

5、一由公式(1)、(2)，两个主应力的大小和方向的正负符号，从数学角度判断的极大、极小值维普资讯http://www.cqvip.com·l58·洛阳师范学院学报2007年第2期上以、Y为法线的平面上的应力，A(，0)、后确定、的方向。5．由力的叠加原理知：的方位在和A(，0)分别对应第一、第二主平面上的应作用下，单元体伸长的趋势方向和代数值较大的力。正应力或的方位线之间。2．过点D作AA的平行线交莫尔应力圆于综上所述的常用方法中：图解法精度难以保D点，自点D向点A引直线段DA。证且不便电算；给出一般判别式后，还需要附加3．由圆弧AD同弧所对圆周角／DDA与单元体图加以判断，虽然物理意义较

6、清楚，但操圆心角／DCA1之间的关系可知／DDA1=，并作略显繁琐；纯数学推导虽简洁明了，但物理意由几何关系得到：义不清楚，理解上偏难。因此本文在给出简捷判1一A1B胁％—(DD1+D1D—+DB)-DD1断方法的同时也通过应力圆加以证明，既保证学EE生易于理解，又有明确的物理意义，在理解的基：=一一一：=一(～-／)，0"1一oYoY一0"1础上很容易掌握该方法。2解决问题的方法及其公式由于定义在[一手，予】中，故证明过程各线段是有向线段的值，它们的参考正向分别与首先由公式(1)可求出两个主应力，然后由、的正向一致。由于图2中，确定的是叮r的-／,方向，故0【1=0【0。(4)由于平面

7、应变公式与平面应力公式在数／．学结构上一致，即、y、分别与y、相对应，从而第一主应变方向角公式为：Dtc，’，、)，／}’tan~1=去㈣3应用算例图2二向应力圆例1已知基本单元体的应力状态如图3所下式(5)、(6)：示，其中应力单位为MPa，试用解析法求主应力tan(5)大小及方向。tan，：—(6)一0"2即可直接求得第一、第二主应力方向角、。其中各物理量的正负规定与教材所规定的一O致。事实上，规定lxl，lxl均在以内，由于相邻的主平面互相垂直，则II+II=90。，图3基本单元体的应力状态所以只需用式(5)确定出第一主应力方向与解：轴之夹角，而自轴向与相反的方向旋转1．如设轴水平

8、向右，Y轴竖直向上则有：(90。一I，I)角度就可确定第二主应力方向。从=一70MPa，=0，=50MPa，于是由公式而在实际运用中确定出第一主应力方向角，利(1)得：用互余关系，可以方便地确定第二主应力方向角-70+0—。现在用莫尔应力图法证明公式(5)。：—丁±√(丁孽)：一96MPa证明1=26MPa，2=0，3=一96MPa1．按莫尔作圆画出应力圆如图2所示。图2中D(，)、E(，)分别表示单元体第一主应力方位角为：维普资讯