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《新人教B版必修1高中数学第二章函数2.1.4函数的奇偶性 .ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.1.4函数的奇偶性目标导航课标要求1.理解函数奇偶性的定义以及奇、偶函数的图象性质.2.能利用函数奇偶性的定义判断、证明函数的奇偶性.3.能根据函数奇偶性研究函数的图象与性质.素养达成通过函数奇偶性的学习,培养学生数形结合及逻辑推理能力,数学运算、直观想象的核心素养.新知探求课堂探究新知探求·素养养成点击进入情境导学知识探究1.奇函数的定义都有x∈Df(-x)=-f(x)偶函数的定义都有-x∈D2.如果一个函数是奇函数,则这个函数的图象是以为对称中心的中心对称图形;反之,如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形,则这个函数是.
2、如果一个函数是偶函数,则它的图象是以为对称轴的轴对称图形.反之,如果一个函数的图象关于y轴对称,则这个函数是.坐标原点奇函数y轴偶函数【拓展延伸】2.函数按奇偶性可分为四类:(1)奇函数:对于定义域D内的任意一个x,且-x∈D,恒有f(-x)=-f(x)成立.(2)偶函数:对于定义域D内的任意一个x,且-x∈D,恒有f(-x)=f(x)成立.(3)既奇又偶函数:对于定义域D内的任意一个x,且-x∈D,恒有f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x)成立.(4)非奇非偶函数:对于定义域D内的任意一个x,且-x∈D,f(-x)=-f(x)与f(-x
3、)=f(x)都不成立.3.奇函数、偶函数的和差积商:在函数的公共定义域上,偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数,奇函数的和差仍为奇函数,奇(偶)数个奇函数的积商(分母不为零)为奇(偶)函数.4.若奇函数在原点处有定义,则由奇函数的定义有f(-0)=-f(0),即f(0)=0,利用这一性质可以快速解决与奇函数有关的求值问题.5.奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同,而偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反.6.若函数y=f(x+a)是偶函数,则f(x+a)=f(-x+a),此时函数y=f(x)关于直线x=a对称;若函数y=f(x+a)
4、是奇函数,则f(x+a)=-f(-x+a),此时函数y=f(x)关于点(a,0)对称.自我检测1.函数f(x)=x4+2x2的图象( )(A)关于原点对称(B)关于x轴对称(C)关于y轴对称(D)关于直线y=x对称C解析:由f(-x)=f(x)知函数为偶函数,故图象关于y轴对称.2.奇函数y=f(x)(x∈R)的图象必定经过点()C解析:因为f(x)是奇函数,所以f(-a)=-f(a),所以f(x)经过点(-a,-f(a)),选C.C4.(2018·贵州贵阳期末)已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=2x-3,则f
5、(-2)的值为.解析:因为x>0时,f(x)=2x-3.所以f(2)=2×2-3=1.因为f(x)为奇函数,故f(-2)=-f(2)=-1,答案:-1类型一判断函数的奇偶性课堂探究·素养提升思路点拨:利用定义判断.先求定义域.在定义域关于原点对称之下,再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否成立,从而确定奇偶性.(3)f(-2)=(-2)2-2×(-2)-1=7,f(2)=22-2×2-1=-1.所以f(-2)≠-f(2)且f(-2)≠f(2),所以f(x)为非奇非偶函数.(4)定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).当x>0时,-x
6、<0,所以f(-x)=(-x)2-x=x2-x=f(x);当x<0时,-x>0,所以f(-x)=(-x)2-(-x)=x2+x=f(x).所以f(x)为偶函数.方法技巧(2)若函数定义域关于原点对称且f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x)同时成立,则该函数既是奇函数,又是偶函数,其形式必为f(x)=0,x∈D(D关于原点对称).解:(1)f(x)定义域为R.因为f(-x)=(-x)3-(-x)=-x3+x=-(x3-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数.(2)由已知可得,函数f(x)的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),所以定义域不关于
7、原点对称,所以函数为非奇非偶函数.类型二奇、偶函数的图象特点【例2】(2018·广西玉林月考)已知奇函数f(x)在x≥0时的图象如图所示,则不等式xf(x)<0的解集为()(A)(1,2)(B)(-2,-1)(C)(-2,-1)∪(1,2)(D)(-1,1)解析:因为函数f(x)是奇函数,所以图象关于原点对称,如图,补全当x<0时的函数图象,可知,当x>0时,f(x)<0,此时10,所以此时-28、函数图象关于原点对称,偶函数图象关于y轴对称.变式训练2-1:已知偶函数f(x)的一部分图象如图所示,(1)请画出f(x)的另一部分图象;解:(1)由
