2018版高中数学第二章函数2.1.4函数的奇偶性学案新人教b版必修1(1)

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1、2.1.4　函数的奇偶性1．了解函数奇偶性的含义．(难点)2．掌握判断函数奇偶性的方法．(重点、难点)3．了解函数奇偶性与图象的对称性之间的关系．(易错点)[基础·初探]教材整理1　奇函数阅读教材P47内容，完成下列问题．1．定义：设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫做奇函数．2．图象特征：如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形．反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对于函数y＝f(x)，若存

2、在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数．(　　)(2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．(　　)(3)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数．(　　)【解析】　(1)×.反例：f(x)＝x2，存在x＝0，f(－0)＝－f(0)＝0，但函数f(x)＝x2不是奇函数．(2)×.存在f(x)＝0，x∈R既是奇函数，又是偶函数．(3)×.函数f(x)＝x2－2x，x∈R的定义域关于原点对称，但它既不是奇函数，又不是偶函数．【答案】　(1)×　(2)×　(3)×教材整理2　偶函数阅读教材P47～P48“例1”以上的内容，完成下列问题．1．定义：设函数

3、y＝g(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且g(－x)＝g(x)，则这个函数叫做偶函数．2．图象特征：如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图217所示，请补出完整函数f(x)的图象，并根据图象写出函数f(x)的增区间．图217【解】　由题意做出函数图象如下：据图可知，单调增区间为：(－1,0)，(1，＋∞)．[小组合作型]函数奇偶性的判断　给出以下结论：①f(x)＝

4、x

5、＋1

6、－

7、x－1

8、是奇函数；②g(x)＝既不是奇函数也不是偶函数；③F(x)＝f(x)f(－x)(x∈R)是偶函数；④h(x)＝＋既是奇函数，又是偶函数．其中正确的序号是________．【精彩点拨】　先求函数的定义域，若定义域不关于原点对称，则既不是奇函数也不是偶函数；若关于原点对称，利用函数的奇偶性判断．【自主解答】　对于①，∵f(－x)＝

9、－x＋1

10、－

11、－x－1

12、＝－(

13、x＋1

14、－

15、x－1

16、)＝－f(x)，∴f(x)＝

17、x＋1

18、－

19、x－1

20、是奇函数，①正确；对于②，由1－x2≥0，得－1≤x≤1，∴g(x)＝＝＝，满足g(－x)＝－g(x)，故y＝g(x)是奇函数，②错误；对于③

21、，∵F(x)＝f(x)f(－x)，∴F(－x)＝f(－x)f(x)＝F(x)(x∈R)，∴F(x)＝f(x)f(－x)是偶函数，③正确；对于④，由解得x＝±1，故函数h(x)的定义域为{－1,1}，且h(x)＝0，所以h(x)既是奇函数，又是偶函数，④正确．【答案】　①③④定义法判断函数奇偶性的步骤[再练一题]1．下列函数中，是偶函数的有________．(填序号)(1)f(x)＝x3；(2)f(x)＝

22、x

23、＋1；(3)f(x)＝；(4)f(x)＝x＋；(5)f(x)＝x2，x∈[－1,2]；(6)f(x)＝.【解析】　对于(1)，f(－x)＝－x3＝－f(x)，则为奇函数；对于(2)

24、，f(－x)＝

25、－x

26、＋1＝

27、x

28、＋1，则为偶函数；对于(3)，定义域为{x

29、x≠0}，关于原点对称，f(－x)＝＝＝f(x)，则为偶函数；对于(4)，定义域为{x

30、x≠0}，关于原点对称，f(－x)＝－x－＝－f(x)，则为奇函数；对于(5)，定义域为[－1,2]，不关于原点对称，不具有奇偶性，则为非奇非偶函数；对于(6)，定义域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)，关于原点对称，f(－x)＝＝＝f(x)，则为偶函数．故为偶函数的是(2)(3)(6)．【答案】　(2)(3)(6)利用函数的奇偶性求函数值或参数值　(1)若函数f(x)＝为奇函数，则a＝(　　)A.　　　B.　　　C.　　D．

31、1(2)已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8且f(－2)＝10，那么f(2)＝________.【导学号：60210043】【精彩点拨】　(1)利用奇函数的定义得到f(－1)＝－f(1)，列出方程求出a；(2)由已知中f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，我们构造出函数g(x)＝f(x)＋8，由函数奇偶性的性质，可得g(x)为奇函数，由f(－2)＝10，我们逐次求出g(－2)、g(2)，可求f(2)．【自主解答】　(1)∵f(x)为奇函数，∴f(－