复变函数 柯西公式.ppt

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1、学习要点熟练掌握高阶导数公式熟练掌握柯西积分公式第三章复变函数的积分§3.2柯西公式一、柯西积分公式1.问题的提出1)被积函数在C上连续，积分I必然存在；因此，I的值只与f(z)在z0点附近的值有关。根据闭路变形原理知,得现在考虑f(z)为一般解析函数的情况。2.柯西公式定理1(柯西公式)C是D的正向边界，我们称它为柯西公式。证明：[证毕]2、公式给出了解析函数的一个积分表达式.3、公式提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法注解(这是解析函数的又一特征)1、对于有界闭区域上的解析函数，它在区域内任一点所取的值可以用它在边界上的值表示

2、出来。例1求下列积分例2例1求下列积分解由柯西积分公式解例2由闭路复合定理,得例3例4练习计算下列积分定理2二、高阶导数公式根据导数的定义,要证明从柯西积分公式得证明：再利用以上方法求极限[证毕]至此我们证明了一个解析函数的导数仍然是解析函数.依次类推,利用数学归纳法可证例5例6高阶导数公式提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法.解例5根据复合闭路定理解由柯西定理得由柯西积分公式得例6三、一些结论1.柯西不等式柯西不等式注：解析函数的导数模的估计与区域的大小有关；2.刘维尔定理有界整函数一定恒为常数.3.莫勒拉定理整函数：在整个复平

3、面解析的函数2.刘维尔定理有界整函数一定恒为常数.证明：由柯西不等式小结它表述了:一个解析函数在区域内部的值可以用它在边界上的值通过积分表示。柯西积分公式是复积分理论中的重要公式并且解析区域内每一点的所有的导数也可通过积分公式计算。若函数f(z)在区域D内解析，那么f(z)在D内有任意阶导数，并且各阶导数均是D内的解析函数所以函数在一个区域内的解析性是很强的条件，和仅仅在一个点可导是有非常大的差异注意区分解析函数的导数与实函数的导数的不同练习答案