第5章 杆件横截面剪应力分析

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1、范钦珊教育教学工作室FANQin-Shan’sEducation&TeachingStudioeBook材料力学(5)主编范钦珊编著章梓茂殷雅俊范钦珊2004-12-181第5章弹性杆件横截面上的剪应力分析§5－1剪应力互等定理剪切胡克定律§5－2圆轴扭转时横截面上的剪应力分析§5－3薄壁截面梁弯曲时横截面上的剪应力流与弯曲中心§5－4薄壁截面梁的弯曲剪应力公式推广应用到实心截面梁§5－5基于最大剪应力的强度计算§5－6结论与讨论习题2基础篇之五第5章弹性杆件横截面上的剪应力分析对于实心截面杆件以及某些薄壁截面杆件，当其横截面上仅有扭矩()Mx或剪力（F或F）时，

2、与这些内力分量相对应的分布内力，其作用面与横截QyQz面重合。这时分布内力在一点处的集度，即为剪应力。本章将分析两种剪应力：受扭圆轴横截面上的剪应力与承受弯曲杆件横截面上的剪应力。这两种剪应力的分析方法不完全相同。分析圆轴扭转时横截面上的剪应力仍然需要借助于平衡、变形协调与物性关系，其过程与正应力分析相似。分析弯曲引起的剪应力，在假设纯弯正应力公式依然适用的前提下，则仅仅需要应用平衡的方法。§5—1剪应力互等定理剪切胡克定律工程上将传递功率的构件称为轴(shaft)，且大多数情形下均为圆轴。当圆轴承受绕轴线转动的外扭转力偶作用时(图5—1)，其横截面上将只有扭矩一

3、个内力分量。图5－1承受扭转的轴5－1－1剪应力互等定理考查承受剪应力作用的微元体（图5－2），假设作用在微元左、右面上的剪应力为τ，这两个面上的剪应力与其作用面积的乘积，形成一对力，二者组成一力偶。为了平衡这一力偶，微元的上、下面上必然存在剪应力τˊ，二者与其作用面积相乘后形成一对力，组成另一力偶，为保持微元的平衡这两个力偶的力偶矩必须大小相等、方向相反。于是，根据微元的平衡条件有图5－2剪应力互等定理∑My=−0,(dd)dττzx(dd)d′xzy=0由此解得：τ=τ′(5－1)3这一结果表明：在两个互相垂直的平面上，剪应力必然成对存在，且数值相等，两者都垂

4、直于两个平面的交线，方向则共同指向或共同背离这一交线，这就是剪应力互等定理（pairingprincipleofshearstresses）。微元的上下左右四个侧面上，只有剪应力而没有正应力，这种受力状况的微元称为纯剪应力状态（stressstateofthepureshear）。5－1－2剪切胡克定律通过扭转试验，可以得到剪应力τ与剪应变γ之间的关系曲线（图5－3）。其中直线段剪应力的最高限称为剪应力比例极限，用τp表示。图5－3剪应力与剪应变曲线τ－γ曲线的直线段表明，当剪应力小于或等于比例极限τp时，剪应力与剪应变成正比，直线段的剪应力与剪应变关系为：τ=G

5、r在第3章中曾经提到，各向同性材料的两个弹性常数——杨氏模量E与泊松比v，可以证明E、v与G之间存在以下关系：EG=(5－2)2(1+v)这表明，对于各向同性材料，三个弹性常数中只有两个是独立的。§5－2圆轴扭转时横截面上的剪应力分析本节应用平衡、变形协调以及物性关系分析圆轴扭转时横截面上的剪应力。5－2－1平面假定与剪应变分布规律圆轴受扭前，在其表面画上小方格[图5－4(a)]，受扭后，圆轴的两端面相对转动了一角度[图5－4(b)]，而相距dx的两相邻圆周线，刚性地绕轴线相对转动了一角度，因相对转动角度很小，故可认为相邻圆周线间的距离不变。根据圆轴受扭后表面变形

6、特点，假定：圆轴受扭发生变形时，其横截面保持平面，并刚性地绕轴线转动一角度，两相邻截面的轴向间距保持不变。这一假定称为平面假定（planeassumption）。根据平面假定，两轴向间距为dx的截面m－m与n－n相对转角为dϕ[图5－4(c)]。考查两相邻横截面之间微元ABDC的变形：AB长为dx，扭转后由于相对转动，圆轴表面上的B点移动到B′：4图5－4圆杆扭转的变形BBR′=dϕ，于是微元ABCD的剪应变γ为：BB′Rddϕϕγ===RABddxx根据平面假定，距轴心O为ρ处同轴柱面上微元A1B1D1C1的剪应变为：BB1′1ρddϕϕγρ()===ρ(5－3

7、)ABddxx11dϕdϕ式中，为扭转角沿轴线x方向的变化率，对某一x处的横截面，为常量。因此式（5dxdx－3）表明：圆轴扭转时，横截面上某点处的剪应变与其到横截面中心的距离成正比，亦即剪应变沿半径方向线性分布。5－2－2横截面上的剪应力分布根据横截面上的剪应变分布表达式（5－3），应用剪切胡克定律得到：dϕτρ==GrG(5－4)ρρdx式（5－4）表明：圆轴扭转时横截面上任意点处的剪应力τρ与该点到截面中心的距离ρ成正比。由于剪应变γρ与半径垂直，因而剪应力作用线也垂直于半径（图5－5a）。根据剪应力互等定理，轴的纵截面上也存在剪应力，其分布如图5－5b所示

8、。图5－5