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时间:2020-04-03
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1、高中数学《椭圆》文字素材2新人教A版选修1-1一、相关性质由于平面截圆锥(或圆柱)得到的图形有可能是椭圆,所以它属于一种圆锥截线。例如:有一个圆柱,被截得到一个截面,下面证明它是一个椭圆(用上面的第一定义):将两个半径与圆柱半径相等的半球从圆柱两端向中间挤压,它们碰到截面的时候停止,那么会得到两个公共点,显然他们是截面与球的切点。设两点为F1、F2对于截面上任意一点P,过P做圆柱的母线Q1、Q2,与球、圆柱相切的大圆分别交于Q1、Q2则PF1=PQ1、PF2=PQ2,所以PF1+PF2=Q1Q2由定义1
2、知:截面是一个椭圆,且以F1、F2为焦点用同样的方法,也可以证明圆锥的斜截面(不通过底面)为一个椭圆椭圆有一些光学性质:椭圆的面镜(以椭圆的长轴为轴,把椭圆转动180度形成的立体图形,其外表面全部做成反射面,中空)可以将某个焦点发出的光线全部反射到另一个焦点处;椭圆的透镜(某些截面为椭圆)有汇聚光线的作用(也叫凸透镜),老花眼镜、放大镜和远视眼镜都是这种镜片(这些光学性质可以通过反证法证明) 二、椭圆的第二定义及其推导过程 定义:当点.M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数时,这个点的轨迹
3、是椭圆.一般称之为椭圆的第二定义,定点是椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线,常数是椭圆的离心率. 其具体推导过程如下: 点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数,求点M的轨迹. 解:设d是点M到直线的距离,根据题意,所求轨迹就是集合. 由此得. 将上式两边平方,并化简,得. 设,就可化成. 这是椭圆的标准方程,所以点M的轨迹是长轴长为,短轴长为的椭圆. 三、第二定义的应用2用心爱心专心 例 椭圆上有一点,它到椭圆的左准线的距离等于10,求点P到它的右焦点的距离. 解:∵,∴. ∴.
4、 依椭圆的第二定义,设点到椭圆左焦点的距离为x,则.∴. ∴点到椭圆右焦点距离为. 评述:椭圆第二定义的巧妙运用可以使问题化繁为简.2用心爱心专心
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