2009年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（广东卷，解析版）.doc

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1、2009年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（广东卷，解析版）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集，集合和的关系的韦恩（Venn）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有A.3个B.2个C.1个D.无穷多个【解析】由得，则，有2个，选B.2.设是复数，表示满足的最小正整数，则对虚数单位，A.8B.6C.4D.2【解析】，则最小正整数为4，选C.3.若函数是函数的反函数，其图像经过点，则A.B.C.D.【解析】，代入，解得，所以，选B.4.已

2、知等比数列满足，且，则当时，A.B.C.D.【解析】由得，，则，，选C.5.给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；-9-④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④【解析】选D.6.一质点受到平面上的三个力（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知，成角，且，的大小分别为2和4，则的大小为A.6B.

3、2C.D.【解析】，所以，选D.7．2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有A.36种B.12种C.18种D.48种【解析】分两类：若小张或小赵入选，则有选法；若小张、小赵都入选，则有选法，共有选法36种，选A.8．已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为（如图2所示）．那么对于图中给定的，下列判断中一定正确的是

4、A.在时刻，甲车在乙车前面B.时刻后，甲车在乙车后面C.在时刻，两车的位置相同D.时刻后，乙车在甲车前面【解析】由图像可知，曲线比在0～、0～与轴所围成图形面积大，则在、时刻，甲车均在乙车前面，选A.二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．-9-（一）必做题（9~12题）9.随机抽取某产品件，测得其长度分别为，则图3所示的程序框图输出的，表示的样本的数字特征是．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”“：=”）【解析】；平均数10.若平面向量，满足，平行于轴，，则.【解析】或，则或.11．巳知椭

5、圆的中心在坐标原点，长轴在轴上，离心率为，且上一点到的两个焦点的距离之和为12，则椭圆的方程为．【解析】，，，，则所求椭圆方程为.12．已知离散型随机变量的分布列如右表．若，，则，．【解析】由题知，，，解得，.（二）选做题（13~15题，考生只能从中选做两题）13．（坐标系与参数方程选做题）若直线（为参数）与直线（为参数）垂直，则．【解析】，得.14．（不等式选讲选做题）不等式的实数解为．-9-【解析】且.15．（几何证明选讲选做题）如图4，点是圆上的点，且，则圆的面积等于．【解析】解法一：连结、，则，∵，，∴，则；解法二：，

6、则.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16．(本小题满分12分）已知向量与互相垂直，其中．（1）求和的值；（2）若，求的值．解：（1）∵与互相垂直，则，即，代入得，又，∴.（2）∵，，∴，则，∴.17．（本小题满分12分）根据空气质量指数API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表：-9-对某城市一年（365天）的空气质量进行监测，获得的API数据按照区间，，，，，进行分组，得到频率分布直方图如图5.（1）求直方图中的值；（2）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数；（3）求

7、该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率.（结果用分数表示．已知，，，）解：（1）由图可知，解得；（2）；（3）该城市一年中每天空气质量为良或轻微污染的概率为，则空气质量不为良且不为轻微污染的概率为，一周至少有两天空气质量为良或轻微污染的概率为.zyxE1G118．（本小题满分14分）如图6，已知正方体的棱长为2，点是正方形的中心，点、分别是棱的中点．设点分别是点，在平面内的正投影．（1）求以为顶点，以四边形在平面-9-内的正投影为底面边界的棱锥的体积；（2）证明：直线平面；（3）求异面直线所成角的正弦值.解：（1

8、）依题作点、在平面内的正投影、，则、分别为、的中点，连结、、、，则所求为四棱锥的体积，其底面面积为，又面，，∴.（2）以为坐标原点，、、所在直线分别作轴，轴，轴，得、，又，，，则，，，∴，，即，，又，∴平面.（3），，则，设异面直线所成角为，则.19．（本小题满分14分）已知