现代控制理论-刘豹-第4章.ppt

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1、4.2李雅普诺夫第一法4.1李雅普诺夫关于稳定性的定义4.3李雅普诺夫第二法4.4李雅普诺夫方法在线性系统中的应用4.5李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用4.1李雅普诺夫关于稳定性的定义4.1.1系统状态的运动及平衡状态设所研究系统的齐次状态方程为（1）式中，为维状态矢量；为与同维的矢量函数，它是x的各元素和时间的函数。一般地，为时变的非线性函数。如果不显含，则为定常的非线性系统。设方程式(1)在给定初始条件下，有唯一解：（2）式中，为表示在初始时刻时的状态；是从开始观察的时间变量。式(2)实际上描述了系统式(1)在n

2、维状态空间中从初始条件出发的一条状态运动的轨迹，简称系统的运动或状态轨线。若系统式(1)存在状态矢量，对所有，都使：成立，则称为系统的平衡状态。（3）对于一个任意系统，不一定都存在平衡状态，有时即使存在也未必是唯一的，例如对线性定常系统：当A为非奇异矩阵时，满足的解是系统唯一存在的一个平衡状态。而当A为奇异矩阵时，则系统将有无穷多个平衡状态。（4）对非线性系统，通常可有一个或多个平衡状态。它们是由方程式(3)所确定的常值解．例如系统：就有三个平衡状态：由于任意一个已知的平衡状态，都可以通过坐标变换将其移到坐标原点处。所

3、以今后将只讨论系统在坐标原点处的稳定性就可以了。4.1.2稳定性的几个定义若用表示状态矢量与平衡状态的距离，用点集表示以为中心为半径的超球体，那么，则表示：（5）式中，为欧几里德范数。在n维状态空间中，有：（6）当很小时，则称为的邻域。因此，若有，则意味着同理，若方程式(1)的解位于球域内，便有：（7）式(7)表明齐次方程式(1)内初态或短暂扰动所引起的自由响应是有界的。李雅普诺夫根据系统自由响应是否有界把系统的稳定性定义为四种情况。1．李雅普诺夫意义下稳定2．渐近稳定3．大范围渐近稳定4．不稳定4.2李雅普诺夫第一法

4、4.2.1线性系统的稳定判据线性定常系统（1）平衡状态渐近稳定的充要条件是矩阵A的所有特征值均具有负实部。以上讨论的都是指系统的状态稳定性，或称内部稳定性。但从工程意义上看，往往更重视系统的输出稳定性。如果系统对于有界输入所引起的输出是有界的，则称系统为输出稳定。线性定常系统输出稳定的充要条件是其传递函数：的极点全部位于s的左半平面。（2）4.2.2非线性系统的稳定性设系统的状态方程为：（3）为其平衡状态；为与同维的矢量函数，且对工具有连续的偏导数。为讨论系统在处的稳定性，可将非线性矢量函数在邻域内展成泰勒级数，得：（

5、4）例4-1P161式中，为级数展开式中的高阶导数项。而（5）称为雅可比(Jacohian)矩阵。若令，并取式(4)的一次近似式，可得系统的线性化方程：（6）在一次近似的基础上，李雅普诺夫给出下述结论：1)如果方程式(6)中系数矩阵A的所有特征值都具有负实部，则原非线性系统式(3)在平衡状态，是渐近稳定的，而且系统的稳定性与无关。2)如果A的特征值，至少有一个具有正实部，则原非线性系统的平衡状态是不稳定的。3)如果A的特征值，至少有一个的实部为零。系统处于临界情况，那么原非线性系统的平衡状态的稳定性将取决于高阶导数项，

6、而不能由A的特征值符号来确定。设为由维矢量所定义的标量函数，，且在处恒有。4.3李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法又称直接法。它的基本思路不是通过求解系统的运动方程，而是借助于一个李雅普诺夫函数来直接对系统平衡状态的稳定性做出判断。它是从能量观点进行稳定性分析的。4.3.1预备知识1.标量函数的符号性质所有在域中的任何非零矢量，如果：2．二次型标量函数二次型函数在李雅普诺夫第二方法分析系统的稳定性中起着很重要的作用。设为n个变量，定义二次型标量函数为：（8）矩阵P的符号性质定义如下：设P为实对称方阵，为由P所决定的二次型

7、函数。3．希尔维斯特判据设实对阵矩阵：由此可见，矩阵P的符号性质与由其所决定的二次型函数的符号性质完全一致。因此，要判别的符号只要判别P的符号即可。而后者可由希尔维斯特(Sylvester)判据进行判定。（9）为其各阶顺序主子行列式：（10）矩阵定号性的充要条件是：4.3.2几个稳定性判据用李雅普诺夫第二法分析系统的稳定性，可概括为以下几个稳定性判据。平衡状态为。设系统的状态方程为：（11）如果存在一个标量函数，它满足：2)是正定的，即当。3)沿状态轨迹方向计算的时间导数分别满足下列条件：①若为半负定，那么平衡状态为在

8、李雅普诺夫意义下稳定。此称稳定判据。②若为负定；或者虽然为半负定．但对任意初始状态来说，除去外，对不恒为零。那么原点平衡状态是渐近稳定的。如果进一步还，则系统是大范围渐近稳定的。此称渐近稳定判据。1)对所有z都具有连续的一阶偏导数。③若为正定，那么平衡状态是不稳定的。此称不稳定判据。例4-4P1674.4李雅普诺夫方法在线性系统中