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1、第三章量子力学中的力学量§3.1表示力学量的算符§3.2动量算符和角动量算符§3.3电子在库仑场中的运动§3.4氢原子§3.5厄米算符本正函数的正交性§3.6算符和力学量的关系§3.7算符的对易关系不确定关系§3.8力学量期望值随时间的变化守恒定律§3.9例题量子力学1引言量子力学2代表对波函数进行某种运算或变换的符号Ôu=v表示Ô把函数u变成v，Ô就是这种变换的算符。1）du/dx=v，d/dx就是算符，其作用是对函数u微商，故称为微商算符。2）xu=v，x也是算符。它对u作用是使u变成v。由于算符只是一种运算符号，所以它单独存在是没有意义的，仅当它作用于波函数上，
2、对波函数做相应的运算才有意义，例如：（一）算符定义§3.1表示力学量的算符量子力学3（8）逆算符（9）算符函数（10）复共轭算符（11）转置算符（12）厄密共轭算符（13）厄密算符（1）线性算符（2）算符相等（3）单位算符（4）算符之和（5）算符之积（6）对易关系（7）对易括号（二）算符的一般特性量子力学4（1）线性算符Ô(c1ψ1+c2ψ2)=c1Ôψ1+c2Ôψ2其中c1,c2是任意复常数，ψ1,ψ1是任意两个波函数。满足如下运算规律的算符Ô称为线性算符（2）算符相等若两个算符Ô、Û对体系的任何波函数ψ的运算结果都相同，即Ôψ=Ûψ，则算符Ô和算符Û相等记为Ô=Û
3、。例如：开方算符、取复共轭就不是线性算符。注意：描写可观测量的力学量算符都是线性算符，这是态叠加原理的反映。量子力学5（4）算符之和若两个算符Ô、Û对体系的任何波函数ψ有：(Ô+Û)ψ=Ôψ+Ûψ=Êψ则Ô+Û=Ê称为算符之和。显然，算符求和满足交换率和结合率。例如：体系Hamilton算符交换率：Ô+Û=Û+Ô结合率：Ô+Û+Â=Ô+(Û+Â）(3)单位算符Î量子力学6（5）算符之积若Ô(Ûψ)=(ÔÛ)ψ=Êψ则ÔÛ=Ê其中ψ是任意波函数。一般来说算符之积不满足交换律，即ÔÛ≠ÛÔ这是算符与通常数运算规则的唯一不同之处。（6）对易关系若ÔÛ≠ÛÔ，则称Ô与Û不对易
4、。显然二者结果不相等，所以:对易关系量子力学7量子力学中最基本的对易关系。若算符满足ÔÛ=-ÛÔ，则称Ô和Û反对易。写成通式:但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对易。注意：当Ô与Û对易，Û与Ê对易，不能推知Ô与Ê对易与否。例如：量子力学8（7）对易括号为了表述简洁，运算便利和研究量子力学与经典力学的关系，人们定义了对易括号：[Ô,Û]≡ÔÛ-ÛÔ这样一来，坐标和动量的对易关系可改写成如下形式：不难证明对易括号满足如下对易关系：1)[Ô,Û]=-[Û,Ô]2)[Ô,Û+Ê]=[Ô,Û]+[Ô,Ê]3)[Ô,ÛÊ]=[Ô,Û]Ê+Û[Ô,Ê]4)[Ô,[Û,Ê
5、]]+[Û,[Ê,Ô]]+[Ê,[Ô,Û]]=0上面的第四式称为Jacobi恒等式。返回如果算符Ô与Û反对易:{Ô,Û}=ÔÛ+ÛÔ量子力学9（8）逆算符1.定义:设Ôψ=φ,能够唯一的解出ψ,则可定义算符Ô之逆Ô-1为:Ô-1φ=ψ并不是所有算符都存在逆算符,例如投影算符(图3.1)就不存在逆.2.性质I:若算符Ô之逆Ô-1存在,则ÔÔ-1=Ô-1Ô=I,[Ô,Ô-1]=0证:ψ=Ô-1φ=Ô-1(Ôψ)=Ô-1Ôψ因为ψ是任意函数,所以Ô-1Ô=I成立.同理,ÔÔ-1=I亦成立.3.性质II:若Ô,Û均存在逆算符,则(ÔÛ)-1=Û-1Ô-1量子力学10设给定一函
6、数F(x),其各阶导数均存在,其幂级数展开收敛则可定义算符Û的函数F(Û)为:（10）复共轭算符算符Û的复共轭算符Û*就是把Û表达式中的所有量换成共轭复量.例如:坐标表象中（9）算符函数例如：量子力学11量子力学12由于ψ、φ是任意波函数,所以同理可证:（11）转置算符利用波函数标准条件:当
7、x
8、→∞时ψ,→0。^量子力学13(12)厄米共轭算符由此可得：转置算符的定义厄米共轭算符亦可写成：算符Ô之厄米共轭算符Ô+定义:可以证明:(ÔÂ)+=Â+Ô+(ÔÂÛ...)+=...Û+Â+Ô+^量子力学14(13)厄米算符1.定义:满足下列关系的算符称为厄米算符.2.性质
9、性质I:两个厄密算符之和仍是厄密算符。即若Ô+=Ô,Û+=Û则(Ô+Û)+=Ô++Û+=(Ô+Û)性质II:两个厄密算符之积一般不是厄密算符,除非二算符对易。因为(ÔÛ)+=Û+Ô+=ÛÔ≠ÔÛ仅当[Ô,Û]=0成立时,(ÔÛ)+=ÔÛ才成立。返回fytftyòò=+*)ˆ(ˆ*OdOd利用量子力学中表示力学量的算符都是厄米算符量子力学15（三）、算符化法则如果量子力学中的力学量F是具有经典对应的力学量,则相应于这个力学量的算符可由经典表示式F(r,p)中将p换成算符得到无经典对应的量，如自旋等，将另行讨论。表示坐标的算符就是坐标自身量子力学16（四
