椭圆上点对两焦点张角问题性质变式探究.doc

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1、椭圆上的点对两焦点的张角问题的性质变式探究题目：在椭圆求一点，使它与两个焦点的连线互相垂直。引申：椭圆的两个焦点是、，，点为它上面一动点，当∠为钝角时，点的横坐标的取值范围是。分析：受原题的启发，无论是钝角还是锐角，都是以直角为参照，该题解法很多，但以几何法最为简洁。如图，以坐标原点为圆心，以为直径画圆与椭圆交于、、、四点，由直径所对的圆周角是直角可知：当点位于、、、四点时，∠为直角，当点位于椭圆上弧或弧上时，∠为钝角；锐角的情况不言而喻，易求点横坐标的取值范围是。引申：双曲线的两个焦点为、，点

2、在双曲线上，且⊥，则点到轴的距离为。分析：该题将原题中的椭圆改为双曲线，而点到轴的距离等于点的纵坐标的绝对值，以为直径作圆与双曲线的交点（即点）的坐标，易求点的纵坐标为，故所求距离为。引申：已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，若、、为直角三角形的三个顶点，则点到轴的距离为（）....分析：该题是将原题中∠为直角改为△为直角三角形，题中没确定哪个角为直角，从而使该题更具有开放性，当∠°时，只要找以为直径的圆与椭圆的交点纵坐标，显然以为直径的圆的方程与椭圆无交点，故此种情况无解；当∠°或∠°时

3、，易求点到轴的距离为，故选。引申：、是椭圆：的两焦点，在上满足⊥的点的个数为。分析：该题只将求点的坐标改为判断点的个数，但解法是相同的，只是求以为直径的圆与椭圆的交点个数，显然以为直径的圆方程为，与椭圆：相切于椭圆短轴端点，故点的个数为个。引申：设椭圆的两个焦点是（－，），（，），>，且椭圆上存在点，使得与垂直，求实数的取值范围。分析：显然该题在椭圆中引入参数，将求点的坐标改为“求参数的取值范围”的热点问题，解法是相同的，要使椭圆上存在点使⊥，只需以为直径的圆与椭圆有交点，也就是椭圆的焦距大于或

4、等于椭圆的短轴长，即，易得。下面将上述问题推广到一般：结论：已知、是椭圆（>>）的两个焦点。（）若椭圆上存在点，使⊥，则椭圆离心率的范围是；（）若椭圆上存在点，使∠为钝角，则椭圆的离心率的范围是；（）若椭圆上存在点，使∠，则椭圆的离心率的范围是。证明：（）若存在点，使⊥，表明，因而－，解得。（）若存在点，使∠为钝角，表明>，因而，解得<。（）在△中，由余弦定理得（＋）－∴∴，，解得。结论：椭圆上对两焦点张角为θ（）的点的个数由θ与∠（为椭圆短轴的一个端点）的大小确定，当时，点有个；当时，点有个；

5、当时，点有个。分析：若点为椭圆上的动点，则∠，∵，∴当，即点在短轴上时，∠有最小值，从而∠有最大值，即当点在短轴上时∠取最大值，进而易知结论成立。