探究高考题中有关椭圆焦点弦问题

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1、有关椭圆焦点弦的高考题的探究————八十中数学组2007年重庆市高考第22题是关于椭圆的焦点弦一类问题，给我留下了深刻的印象和许多思考，本文将对该问题加以分析和探究。问题：中心在原点的椭圆的右焦点为，右准线的方程为：。（1）求椭圆的方程；（2）在椭圆上任取三点，，，使，证明：为定值，并求此定值。解：（I）易得所求椭圆方程为；（2）记椭圆的右顶点为，并设（1，2，3），不失一般性，假设，且，。又设点在上的射影为，因椭圆的离心率，从而有。变形得：。，，而，故为定值．探究一：对于一般的椭圆方程，是否也有类似的定值呢？由上述证明，不难得到：（1）焦点为F的椭圆上三点，，，且，则有=。证明：

2、这里也可以采用极坐标的方法来证明。（由椭圆的对称性知：不妨设点F为左焦点）由圆锥曲线的极坐标方程，得。不失一般性，设，且，，则有：，即：=。（2）焦点为F的双曲线同支上三点，且，则有倒数的代数和为定值。（允许极径为负值，证明同（1））（3）焦点为F的抛物线上三点，且，则有=。（证明同（1））探究二：前面的问题均限于三点，能否推广到个点呢？由上面的证明，我们不难得到：（1）焦点为F的椭圆上依次有个不同的点，且满足，则有=。证明：由圆锥曲线极坐标方程，得。不失一般性，设，且，，则有：由复数次单位根的知识，易得：。特别的，当及时，就是我们常见的椭圆中过焦点作直线的焦点弦问题。（2）焦点为

3、F的双曲线同支上有个不同点，且满足，则有倒数的代数和为定值。（允许极径为负值，证明同（1））（3）焦点为F的抛物线上顺次有个不同点，且满足，则有=。特别的，当及时，就是我们常见的抛物线中过焦点作直线的焦点弦问题。探究三：如果研究对象不是焦点弦，而是中心距，是否也有类似的结论呢？中心为O的椭圆上依次有个不同点，且满足，则有=。证明：设，不失一般性，设，且，，代入方程，得，，所以。从而有：=。探究四：如果我们将椭圆的长轴分成等份，结果会怎样呢？于是有：将椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于共个点，是椭圆的一个焦点，则。证明：设，，由椭圆的对称性可知：，所以。特别地

4、，当时，即是2006年四川省高考题：将椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点，则35。探究五：若变换成条件,是否有类似结论呢？我们继续如下探究：（1）焦点为F的椭圆上依次有个不同点，若满足，则有=。证明：设，由得，得：，从而：。同理，双曲线也有与（1）几乎完全一样的结论！（2）焦点为F的抛物线上依次有个不同点，若满足，则有=。证明：设，由得，得：，从而：。特别地，当时，即为2007年全国高考题：设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点，若，则6。