扩展的Bianchi恒等式及其在几何流演化方程中的应用-论文.pdf

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1、高校应用数学学报2014，29(3)：319—332扩展的Bianchi恒等式及其在几何流演化方程中的应用赵春莉，卢卫君f1．浙江大学数学中心，浙江杭州310027；2．广西民族大学理学院，广西南宁530006)摘要：在初始版本的第一，~Bianchi恒等式的基础上，利用二阶或三阶协变导数引申出扩展的二阶协变和三阶协变Bianchi恒等式．这类二阶协变Bianchi恒等式在黎曼曲率张量沿着两类特殊的几何流一里奇(Ricci)流和双曲几何流的演化方程中有一定的应用．给出这方面的应用例子并加以阐述．关键词：扩展的Bianc

2、hi恒等式；里奇流；双曲几何流；黎曼曲率张量演化方程；共形正规坐标系中图分类号：0186．12，O189．3文献标识码：A文章编号：1000—4424(2014)03—0319—14§1引言众所周知，两个协变导数一般不是交换的，如果相互交换，交换前后会相差一个黎曼曲率张量．可见，黎曼曲率就是协变微分非交换性的一种度量．黎曼曲率观念是非常深速的，要遵循两个Bianchi恒等式【1J．即第-Bianchi恒等式和第~Bianchi恒等式．这些恒等式折射出黎曼曲率张量具有微分同胚不变性，在物理中有应用，特别是广义相对论．另一

3、方面，它们在Hamilton的Ricci流[2-3]的研究中扮演着重要的角色，特别在曲率的演化方程，Harnack估计，非负迷向曲率等方面应用的频率非常惊人[4-5,2J．因为Bianchi恒等式和协变微分的交换公式~NRicci恒等式经常用来作方程计算控SJ]Ricci流下几何量的演化【4，p14j．在讨论文献f4—61及其参考文献如『7，2—31的过程中，发现除了第一，第~Bianchi恒等式及缩并版本的第~Bianchi恒等式的广泛应用之外，还有一类形~DBianchi的恒等式也有很好的应用．由于这一类恒等式淹没

4、在第-CBianchi恒等式及缩并的第~Bianchi恒等式当中，不是很起眼也不容易被读者关注，所以在本文中整理并提升出一类所谓拓展的高阶Bianchi恒等式．考虑到应用的层面，对于拓展的高阶Bianchi恒等式，仅探讨含有二阶协变导数和三阶协变导数的情形．这样，为了统一的方便，把原来的第-Bianchi恒等式另称为零阶协变Bianchi恒等式，第~Bianchi恒等式称为一阶协变Bianchi恒等式．这应该不会引起糟糕的缺陷出现，诸如习惯术语的冲突和混乱，收稿日期：2013-07—23修回日期：2013—11—17高

5、校应用数学学报第29卷第3期或者理解上的困难，因为本文只是从涉及协变导数的阶数来加以识别，从而与拓展的恒等式形成一致的口径，另外也起到强调本质的作用．作为应用的例子阐述，本文选取涉及Ricci流的黎曼曲率的演化方程作为例子，这主要归功于文献【61．这方面本文尽量作精细的工作，以便展示Ricci曲率，纯量曲率等相关曲率的相互碰撞．同时还拓展一类新的曲率演化方程IS_g]，目的在于导入本文的三阶协变的Bianchi恒等式，但由于构造上比较繁杂，因此实际上还是二阶协变Bianchi恒等式起主导作用．文章的组织结构大致为：52

6、回顾黎曼曲率，Ricci曲率，纯量曲率，Ricci流等概念以及第一，第-Bianchi恒等式；§3介绍缩并版本的第~．Bianchi恒等式，提出拓展的高阶Bianchi恒等式，给出二阶阶协变和三阶协变导的Bianchi恒等式；§4给出一阶协变Bianchi恒等式在Ricci张量的协变导数的应用，缩并的Bianchi恒等式在共形正规坐标系的应用，主要给出二阶阶协变和三阶协变导的Bianchi恒等式在Ricci流，双曲几何流的黎曼曲率演化方程的应用．§2预备知识首先回顾关于曲率张量的一些基本知识【3_5]．黎曼曲率张量是引

7、入各种曲率的基础，自然是黎曼几何最重要的特征．下面给出它的定义．定义2．1设(M，9)是一个黎曼流形，D为Levi-Civita联络．黎曼曲率(1，3)型张量R定义为n(x，Y)Z：=DxDyZ—DyDxZ—D[x．y1Z．(0，4)型黎曼曲率张量定义为R(X，Z，W)：=夕(一R(X，v)z，W)=(一R(，Y)Z，W)．对于黎曼流形而言，(0，4)型黎曼曲率张量比(1，3)型曲率张量具有更多的对称性和反对称外，两者只不过是同一对象的不同表现而已．因此，常用同一个字母R表示，虽然有点混淆但容易通过作用的向量个数来区分

8、．根据定义2．1及下节定义3．1，黎曼曲率张量刻画了协变导数的两次作用在作用的次序交换时所产生的差别．而且，黎曼曲率张量满足某些代数恒等式，下面不加证明地表述这些恒等式．命题2．2对于任意的切向量场，Z，，黎曼曲率张量R满足(i)对称性和反对称性R(X，Z，W)：一R(，z，W)=R(z，X，y)．(1)(ii)第-Bianchi