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1、九十五年度專題演講講義2006淡江數學營李武炎數論上的幾則問題引言121.證明95-1一定被13整除。2.證明12!+1一定被13整除(不必將12!+1算出再以13除之)數論上有兩個很有名的定理:『費馬定理』p−1若p為質數，a為與p互質的任意整數，則a−1一定被p整除。『威爾生定理』若p為質數，則(p−1)!+1必為p整除。13例1.2006被13除之餘數為何?96例2.2006被13除之餘數為何?95例3.2006被13除之餘數為何?例4.22!被23除之餘數為何?例5.21!被23除之餘數為何?例6.20!被23除之餘數為何?29練習1.2006被2
2、9除之餘數為何?56練習2.2006被29除之餘數為何?55練習3.2006被29除之餘數為何?練習4.18!被17除之餘數為何?練習5.16!被17除之餘數為何?練習6.15!被17除之餘數為何?1練習7.14!被17除之餘數為何?附記:最大新質數德國一位業餘數學家諾瓦克在公元2005年2月發現至今所知最大的一個質數:2的25964951次方減1，這個質數超過七百八十萬位，十分驚人。這個質數是屬於所謂的梅森尼質數(2的n次方減1)2006淡江數學營李武炎n模整數以n為模數的整數(Integersmodulon)，簡稱為n模整數。設n≧2為整數，定義一個同
3、餘(Congruent)關係在整數集合Z上：若a、b∈Z且n
4、(a-b)則稱a同餘於b(以n為模數)；記為a≡b(modn)。例如：17≡2(mod3)，2≡8(mod3)，31≡16(mod5)。定理1：以n為模數的同餘關係是一個等價關係(Equivalencerelation)。証明：等價關係是一個具備下列三個性質的關係：(1)反身性(Reflexive)：a≡a(modn)∀a∈Z(2)對稱性(Symmetric)：若a≡b(modn)，則b≡a(modn)(3)遞移性(Transitive)：若a≡b(modn)且b≡c(modn)，則a≡c(mo
5、dn)其簡略說明如下：(1)a−a=0∴n
6、a–a。(2)b−a=–(a–b)；當n
7、a–b則n
8、b–a。(3)若n
9、(a–b)且n
10、(b–c)則n
11、[(a–b)+(b–a)]；即n
12、a–c。定義：在以n為模數的同餘關係下，[a]={x∈Z
13、a≡x(modn)}。[a]是指與a有同餘關係的所有整數所成的集合，有時也記為a，稱為以n為模數的剩餘數(Residueclass)。例如：當n=4時[0]={…,−8,−4,0,4,8,12,…}[1]={…,−7,−3,1,5,9,13,…}2[2]={…,−6,−2,2,6,10,14,…}[3]={…,−5,−
14、1,3,7,11,15,…}[4]={…,−4,0,4,8,12,16,…}M其中[0]=[4]=[8]=…[1]=[5]=[9]=…ㄧ共有四個不同的classes，即[0]、[1]、[2]及[3]，這四個classes彼此之間都不相交(交集為空集合)，其聯集為整數Z全體，他們形成Z的ㄧ個分割(Partition)由例中我們可觀察到a≡b(modn)⇔[a]=[b]。定義：在以n為模數的同餘關係下，所得的剩餘數類所成的之集合以Z記之，n即Z={[0],[1],[2],…,[n−1]}。nZ又稱為以n為模數的整數(n模整數)。n例：Z={[0],[1],[2
15、],[3]}4Z={[0],[1],[2],[3],[4],[5]}6此處Z中的[0]為{…,−8,−4,0,4,8,…}，4此處Z中的[0]為{…,−12,−6,0,6,12,…}。6如果要加以區分，可特別將前者表為[0]，後者記為[0]。46定義：若[a]、[b]∈Zn規定[a]+[b]=[a+b];[a]‧[b]=[ab]。例如：在Z中，[2]+[3]=[5]=[1];4[2]‧[3]=[6]=[2]。在Z中，[3]+[5]=[8]=[2];6[3]‧[4]=[12]=[0]。練習：證明定義中的加法與乘法運算都是定義適當的(Well−defined)
16、。若[a]=[a]，12[b]=[b]，12則a≡a(modn)即a−a=nk1212b≡b(modn)b−b=nlk、l∈Z1212因此（a−a）+(b−b)=n(k+l)，12123故（a+b）−(a+b)=n(k+l)。1122所以a+b≡a+b(modn)，1122即[a+b]=[a+b]。1122又a=a+nk12b=b+nk12故ab=(a+nk)(b+nl)11222=ab+nal+nbk+nkl2222=ab+n[al+bk+nkl]2222因此ab−ab也是n的倍數，所以ab≡ab(modn)11221122即[a][b]=[a][b]1
17、122定理2：設a與n為整數且n≧2，若且為若a與n互質，則[a]
