利用阿波罗尼斯圆解竞赛题

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1、2010年第2期5利用阿波罗尼斯圆解竞赛题黄全福(安徽省怀宁县江镇中学，241642)中国分类号：O123．1文献标识码：A文章编号：1005—6416(201o)02—0005—04(本讲适合高中)(1)阿氏圆的性质与阿波罗尼斯轨迹定理是一组互逆命题．1关于阿波罗尼斯圆(2)要牢记阿波罗尼斯轨迹定理的两大AB为平面内的定长线段，c为一个动特征：(i)线段成比例，即AM=；点，满足CA=詈(n≠6)，则点C的轨迹是一(ii)两直线互相垂直，即CM上CN．个圆．这个圆直径的两端是按定比导内分AB只要已知条件具备上述两个特征，阿波和外分AB所得的两个分点．罗尼

2、斯轨迹定理立刻就有了用武之地．如图1，M2例题选讲为AB的内分点，Ⅳ为AB的2．1解有关角的问题外分点．若图1利用阿氏圆解有关角的问题，应该说是用得最多的一种情况．=而AN=詈(口≠6)，则以删为直径的oD就例1设凸四边形ABCD的两组对边所在直线分别交于点E、F，两条对角线交于点是动点C的轨迹。P，过P作PO上EF于点0．求证：这是著名的阿波罗尼斯(Apollonius)轨BOC：AOD．迹定理．以MN为直径的o0叫做阿波罗尼(2002，中国国家集训队选拔赛)斯圆，简称阿氏圆．讲解分两种情况讨论．阿氏圆有如下性质：(1)当BD／／时，这个问题比较易于在线

3、段AB关于定比(0≠b)的阿氏圆处理，此处不赘述．上任意一点，到A、两点距离的比都等于定(2)当BDEF时，不妨设DB与阳交于点Q(如图2)．比詈．若点c在阿氏圆上，则CA：詈．延长AC此时，必有CM平分ACB、CN平分交EF于点／ACB的外角(证明略)．K，令D顺便指出。：=，BCD易证Q：收稿H期：2009—03—02修回日期：2009—11—16图26中等数学AP丝一AB．ADsinclPAB：BAM一PM—一——PCsBDCB·CDsin811=÷BAC一PNM=÷BAC一AK埴FAE·AFsinCK—sEF—CE·CF9‘1故PAB+PCB=÷B

4、AC+视△曰EQ、△orq、△胞Q、△erq分二别被直线ADF、ABE、BCF、DCE所截，分别应又PAC=／MAC+／PAM11用梅涅劳斯定理得=÷BAC+PNM=÷BAC+卢，BAEF01)1DAFEOB．』‘0AEF0DB’AFE0BDPBC=一届，1DCEFOB．BCFEoD．从而，／PAC+PBC=÷／BAC+CEFOBD’CFEoDB二故PAB+PCB=／PAC+PBC．由以上四式知=卿易证APC一A嬲=PAB．}PCB，AE．AF一．_APB一ACB=PAC+朋C．CB．CD—CE．CF’故A尸C一ABC=APB一ACB．比较式①、②、③立得

5、=．2．2解关于线段的问题利用阿氏圆可解决关于线段的问题(如再注意到PO上，由阿波罗尼斯轨迹线段的积、线段的比等)．定理可得POC=POA．例3给定锐角△PBC，PB≠PC．设A、同理，POB=POD．D分别是PB、PC上的点，AC交BD于点D．从而，BOC=AOD．过D作OE上AB，OF上CD，E、F分别为垂例2在△ABC中，AB>AC，A、AN分足，线段BC、AD的中点为、Ⅳ．别为BAC及其外角的平分线，以jl为直(1)若A、、G、JD四点共圆，求证：径作o0，点P在△ABC内部且在o0上．求证：EM·FN=EN·FM：APC一ABC：APB一ACB．

6、(2)若EM·FN=ElY·FM，是否一定有、讲解如图3，延长到点，联结、G、D四点共圆?证明你的结论．PN．易知oD(20O9，中国数学奥林匹克)是关于线段讲解此题第(1)问实际上是2003年BC的阿氏圆．德国的数学竞赛题．原题是：注意到点求证：的中垂线同时平分BC与AD尸在阿氏圆上，两边，即ME=MF，lYE=由阿氏圆的性图3这自然得到了ME·NF=MF·NE．第(2)问的结论是：、曰、c、D不一定四质得BN点共圆．～一丝NC—PC‘事实上，当AD／／BC(易证A、B、c、D四从而，PN必平分BPC的外角CPX．点不共圆)时，也能得到ME·ⅣF=MF·

7、NE．记CPN=／XPN=，／P=证明当AD∥BC时，易知M、0、Ⅳ三点易得PCB=+，共线．2010年第2期7如图4，联结PM、PM●=一=一CFDF由于AD／／BC，则△PBC∽△D．故甘△KED∽△GFD．①PBBC8M于是，只要证式①成立即可．PAADAN‘由BED：CFD，得又船=PANKED=GFD．j△咫M∽△JI，C故只须证KDE=GDF．=／BPM：APN图4由图5易知=BPN．KDE=(90。一BDE)+KDN，因此，P、Ⅳ、三点共线．此时，必有P、GDF=f90。一COF)+GDN．N、0、M四点共线．又因为AD／／BC，△OBC∽△

8、ODA，因为AN平分KAG，AM平分KAG的△PBCc／~APAD