2013年高考数学预测新课标数学考点预测(15)导数及其应用.pdf

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1、2013年高考数学预测新课标数学考点预测（15）导数及其应用一、考点介绍导数属于新增内容，是高中数学知识的一个重要的交汇点，命题范围非常广泛，为高考考查函数提供了广阔天地，处于一种特殊的地位，不但一定出大题而相应有小题出现。主要考查导数有关的概念、计算和应用。利用导数工具研究函数的有关性质，把导数应用于单调性、极值等传统、常规问题的同时，进一步升华到处理与自然数有关的不等式的证明，是函数知识和不等式知识的一个结合体，它的解题又融合了转化、分类讨论、函数与方程、数形结合等数学思想与方法，不但突出了能力的考查，同时也

2、注意了高考重点与热点，这一切对考查考生的应用能力和创新意识都大有益处。1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念．2．熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数．3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．二、高考真题1.（2008全国一21

3、）．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）32已知函数fx()=x+ax++x1，a∈R．（Ⅰ）讨论函数fx()的单调区间；⎛21⎞（Ⅱ）设函数fx()在区间⎜−，−⎟内是减函数，求a的取值范围．⎝33⎠32解：（1）fx()=x+ax++x12求导：fx′()=3x+2ax+12当a≤3时，∆≤0，fx′()≥0fx()在R上递增22−±aa−3当a>3，fx′()=0求得两根为x=3222⎛−−aa−3⎞⎛−−aa−3−+aa−3⎞即fx()在⎜−∞，⎟递增，⎜，⎟递减，⎜3⎟⎜3

4、3⎟⎝⎠⎝⎠2⎛−+aa−3⎞⎜，+∞⎟递增⎜3⎟⎝⎠⎧−−aa2−32⎪≤−⎪3327（2）⎨，且a>3解得：a≥⎪−+aa2−314⎪≥−⎩332.（2008全国二21）．（本小题满分12分）32设a∈R，函数f(x)=ax−3x．（Ⅰ）若x=2是函数y=f(x)的极值点，求a的值；（Ⅱ）若函数gx()=fx()+fx′()，x∈[02]，，在x=0处取得最大值，求a的取值范围．2解：（Ⅰ）fx′()=3ax−6x=3(xax−2)．因为x=2是函数y=fx()的极值点，所以f′(2)=0，即6(2a−2)=

5、0，因此a=1．经验证，当a=1时，x=2是函数y=fx()的极值点．········································4分3222（Ⅱ）由题设，gx()=ax−3x+3ax−6x=axx(+3)3(−xx+2)．当gx()在区间[02]，上的最大值为g(0)时，6g(0)≥g(2)，即0≥20a−24．故得a≤．·············································9分56反之，当a≤时，对任意x∈[02]，，562gx()≤xx(+3)3(−x

6、x+2)53x23x=(2x+−x10)=(2x+5)(x−2)≤0，55而g(0)=0，故gx()在区间[02]，上的最大值为g(0)．⎛6⎤综上，a的取值范围为⎜−∞，⎥．··································································12分⎝5⎦3.（2008山东卷21）（本小题满分12分）1已知函数fx()=+aln(x−1),其中n∈N*,a为常数.n(1−x)（Ⅰ）当n=2时，求函数f(x)的极值；（Ⅱ）当a=1时，证明：对任意的正整

7、数n,当x≥2时，有f(x)≤x-1.（Ⅰ）解：由已知得函数f(x)的定义域为{x

8、x＞1}，1当n=2时，fx()=+aln(x−1),2(1−x)22−a(1−x)所以fx()=.3(1−x)（1）当a＞0时，由f(x)=0得22x=+1＞1，x=−1＜1，12aa−ax(−x)(x−x)12此时f′（x）=.3(1−x)当x∈（1，x1）时，f′（x）＜0,f(x)单调递减；当x∈（x1+∞）时，f′（x）＞0,f(x)单调递增.（2）当a≤0时，f′（x）＜0恒成立，所以f(x)无极值.综上所述，n=2时

9、，22a2当a＞0时，f(x)在x=+1处取得极小值，极小值为f(1+)=(1ln).+aa2a当a≤0时，f(x)无极值.1（Ⅱ）证法一：因为a=1,所以fx()=+ln(x−1).n(1−x)当n为偶数时，1令gx()=−−x1−ln(x−1),n(1−x)n1x−2n则g′（x）=1+−=+＞0（x≥2）.n+1n+1(x−1)x−1x−1(x−1)所以当x∈[2,