一类非线性矩阵方程的迭代算法

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1、第27卷第2期贵州大学学报(自然科学版)VoL27N0．22010年4月JournalofGuizhouUniversity(NaturalSciences)Apr．2010文章编号1000—5269(2010)02一OOO4—03一类非线性矩阵方程的迭代算法龙建辉h，何佑梅，胡锡炎2(1．福建工程学院数理系，福建福州350108；2．湖南大学数学与计量经济学院，湖南长沙410082)摘要：研究了一类在电路设计，信号处理中有广泛应用的非线性矩阵方程。给出了求该方程解的迭代算法，证明了其收敛性。数值例子说明所给算法是有效的。关键词：矩阵方程；迭代算法；收敛性中图

2、分类号：0241．5，0241．7文献标识码：A考虑矩阵方程Newton法解方程组(3)的算法如下，R=(+)(—)(1)算法(1)(Newton法)其中M是已知的凡×n阶M一矩阵，是未知步1：给定充分好的初始向量‘。=(’，(0)(0)(0)(0)的凡×n阶且对角元为0的矩阵，是未知的n×n⋯，n，r12，⋯，r】R，⋯，rnl，⋯，阶正对角矩阵。在实际应用中往往是需要的。r‘。))；．一l方程[1]在电路设计，信号处理等领域有广泛的应步2：解关于的线性方程组用，详见文献[1]．令m，分别表示矩阵，R的G(“’)^=c(x“)；(3)(iJ)元素。是矩阵的第

3、i个对角元，则矩阵方步3：“¨=“+h．程(1)可化为如下的非线性代数方程组：其中G(“)=(g)ER，rI—IT~ilrli+—mi0()，_l’⋯n2．(2)【∑r+m“+f)r一m：0Newton法具有局部二次收敛性，它在理论上是吸引人的．但是，在它的每轮迭代中都需要求方程组(2)中有n个方程和n个未知数(。阶的线性方程组(3)的解，这可能是困难的工≠)，．对于方程组(2)的求解方法一般是用多作．此外每轮迭代不仅要G(“’)的儿个分量，也变量的Newton法，割线法等]。然而Newton法是需要计算G(“)．初始向量若选取不好，则局部二次收敛，它对初始值

4、的要求较高。所以在应Newton法的二次收敛得不到保证，甚至不收敛。用中常用其它的办法求得较好的初始值，然后用因此Newton在实际应用中有较大的困难．Newton法作进一步的校正。文[3]提供了一个较定义一个映射F：RR满足对任一矩阵好的迭代算法求Newton法的初始值。A=(a)有：本文的主要工作如下：(1)对文[3]中所提的F(A)=diag(口11，⋯，0)算法，改进的它的迭代初值，并证明了算法的收敛F(A)=diag(a~11，⋯，口：)(4)性。(2)一些数值例子说明我们的算法是有效的。由方程(1)可得1主要结果R=(+X)一(一)=，一2(M+X

5、)一令=(】，⋯，，rl2，⋯，r1，⋯，】，⋯，(5)一)，则非线性方程组可表示为：故有：G()=0．(3)RX～=X～一2(M+)(6)收稿日期：2009—09一o9基金项目：高校博士学科点专项科研基金资助项目(200605332014)；福建省自然科学基金项目(2009J05001)福建省教育厅基金项目(JB09313)和福建工程学院院基金(E0600073，GY—Z0893)作者简介：龙建辉(1975一)，男，湖南长沙人，博士、讲师，研究方向：数值代数，最优化，Email：jianhuipaper@yahoo．corn．cn．+通讯作者：龙建辉，Ema

6、il：jianhuipaper@yahoo．corn．cn．第2期龙建辉等：一类非线性矩阵方程的迭代算法·5·由于的对角元为0，所以RX的对角元也令极限为。，即im=X。．显然。是(7)的为0，因此非负解．和2(M+)的对角元素应该相等，即2数值例子X～=F(2(+))．所以有在本节中我们用算法(2)，算法(3)先求出=÷F((+))(7)的近似值，然后用Newton法校正和求出R．例1[。求方程(1)的解，其中根据(7)可得如下算法：算法(2)引：r，o一1一1M=I一210—1lrXo=0一1—120jJI，=算法(2)需19步得到解+÷F((+))文[3

7、]证明算法(2)收敛于(7)的非负解。由r，9·87o3oo]X。=1I09．87030I．(5)式可知，若是给定的对角M矩阵，则X=o019．8912JF(M)显然是(7)的解。根据矩阵函数的连续性，而算法(3)只需要13步得到解。．数值结果F(M)是的一个较好的逼近。算法(2)可改进见表1．为：表1例1的数值结果算法(3)：算法(3)算法(4)rXo=F(M)D丢D’‘l+=÷1F((+))14．86684．86689．88279．93559．935519．946O38．59838．598317．370：9．88689．886819．9O51引理1．1设矩

8、阵A=(0)，B=(6)∈z，A59．