学高等数学期中考试试卷答案.doc

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1、2012—2013学年第一学期《高等数学(2-1)》期中试卷（工科）专业班级姓名学号开课系室基础数学系考试日期2012年11月25日页号一二三四五六总分本页满分32181016168本页得分阅卷人注意事项：1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共五道大题，满分100分；4．试卷本请勿撕开，否则作废；5．本试卷正文共6页。-6-/7本页满分32分本页得分一、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）1．设函数在处连续，则=.2．设在处连续，且，则=.3．设，则=.4.函数，则=.5.曲线的下凸区间是_______________

2、__________.二、选择题（共5小题，每小题4分，共20分）1．设函数，则是的（C）．A．连续点；B．可去间断点；C.跳跃间断点；D．无穷间断点.2.设有二阶连续导数且，，则下列说法正确的是（B）．A．不是的极值，不是曲线的拐点；B．是的极小值；C．是曲线的拐点；D．是的极大值.3.当时，若与为等价无穷小，则之值为（B）．A．；B．,为任意常数；C．，为任意常数；D.均为任意常数.-6-/7本页满分18分本页得分4.设，其中是有界函数，则在处（D）.A．极限不存在；B.极限存在但不连续；C.连续但不可导；D.可导.5.设在可导且，则时，是的（C）.A．等价无穷小；B.高阶无

3、穷小；C.同阶但非等价无穷小；D低阶无穷小.三、计算题（共4小题，每小题5分，共20分）1.求极限.解：（方法一）；（方法二）；（方法三）洛比达法则.2.设函数由方程确定，求其在处的切线方程.解：两边取对数得：，两边对求导，有，又由于时，，，可得，代入得，故在处的切线方程为，即.-6-/7本页满分10分本页得分3.设，求.解：；，故.4.求极限.解：（方法一）；（方法二）；（方法三）洛比达法则.-6-/7本页满分16分本页得分四、应用题（共3小题，每小题8分，共24分）1.已知在处可导，试求出与.解：由于在处可导，必连续，故，又，可得，即；又由于在处可导，则，又，，故.2.有一底

4、半径为cm，高为cm的圆锥容器，今以自顶部向容器内注水，试求当容器内水位等于锥高的一半时水面上升的速率.解：设时刻，水的体积，水面半径及水的深度分别为，由于，又从相似三角形可知：，即，可得，两边对求导，得，由已知条件，，代入得，即水面上升的速率为.-6-/7本页满分16分本页得分3.试讨论方程有几个实根.解：令，则，令，解得驻点，列表如下：+0—最大值可得，的最大值为，讨论如下：（1）当时，，方程有唯一的实根；（2）当时，，又由于；，故方程有两实根，分别位于与内；当时，，方程没有实根.五、证明题（共2小题，每小题8分，共16分）1．设函数在上连续，在内可导，且，，证明：存在，使得

5、.证明：令，则在上连续，在内可导，且由于，，易得，根据罗尔定理，至少存在，使得，即，又，可得.-6-/7本页满分8分本页得分2．证明：当时，.证明：（方法一）设，则在上连续，在内可导，由Lagrange中值定理，得，，故，即，整理得，.（方法二）：对在上应用Lagrange中值定理.（方法三）：利用函数的单调性.-6-/7