拉普拉斯变换及其应用.ppt

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1、复习、提问1、系统的三大性能是什么？2、系统动态性能的三大指标是什么?3、对一个系统的基本要求可归纳为三个字：稳、快、准。谈谈你对这三个字的理解。4、系统分析的一般步骤分三步走，哪三步？5、对于单输入单输出系统，经典的分析方法有三种，哪三种？曹冲称象利用拉氏变换求解微分方程的思路是：第二章　拉普拉斯变换及其应用拉普拉斯(1749-1827),法国著名数学家和天文学家。他是天体力学的主要奠基人，是天体演化学的创立者之一，是分析概率论的创始人，是应用数学的先躯。拉氏变换的定义公式为：第一节　拉氏变换

2、的概念【例2-1】求单位阶跃函数1(t)的拉氏变换式。解：【例2-2】求单位脉冲函数δ(t)的拉氏变换式。解：【例2-3】求δ(t)与1(t)间的关系。结论：单位阶跃函数对时间的导数即为单位脉冲函数。单位脉冲函数对时间的积分即为单位阶跃函数。解：【例2-4】求正弦函数f(t)=sinωt的拉氏变换式。解法一：利用手算。解法二：利用MATLAB软件。实例求下面这个函数f(t)的拉氏变换式。解法一：利用手算。解法二：利用MATLAB软件。教材表2-1是常用函数的拉氏变换表，要求会查表。有九个定理（或者

3、说九个性质），教材介绍了5个。要熟悉这5个定理的结论与用途。1、线性定理（包括叠加定理、比例定理）2、位移定理（也叫延迟定理）3、相似定理4、微分定理5、积分定理6、周期函数的拉氏变换7、初值定理8、终值定理9、卷积定理第二节　拉氏变换的运算定理两个函数代数和的拉氏变换等于两个函数拉氏变换的代数和。即1.叠加定理K倍原函数的拉氏变换等于原函数拉氏变换的K倍。即2.比例定理思考（1）阶跃函数K·1(t)的拉氏变换式为多少？（2）脉冲函数K·δ(t)的拉氏变换式为多少？在零初始条件下，即3.微分定理则

4、上式表明，在初始条件为零的前提下，原函数的n阶导数的拉氏式等于其象函数乘以sn。在零初始条件下，即4.积分定理则上式表明，在初始条件为零的前提下，原函数的n重积分的拉氏式等于其象函数除以sn。当原函数f(t)延迟时间τ，成为f(t-τ)时，它的拉氏式为5.延迟定理（也叫位移定理）上式表明，当原函数f(t)延迟τ，即成为f(t-τ)时，相应的象函数F(s)应乘以因子e-sτ。6.终值定理上式表明原函数在t→∞时的数值(稳态值)，可以通过将象函数F(s)乘以s后，再求s→0的极限值来求得。条件是当t→

5、∞和s→0时，等式两边各有极限存在。终值定理在分析研究系统的稳态性能时(例如分析系统的稳态误差，求取系统输出量的稳态值等)有着很多的应用。因此终值定理也是一个经常用到的运算定理。实例1记　　　　　　　　，设求下面这个函数的拉氏变换。函数式中m、B、K都是常数。实例2记　　　　　　　　，设求下面这个函数的拉氏变换。函数式中an、an-1、…、a1、a0都是常数。拉氏反变换的定义公式为：第三节　拉氏反变换公式右端的积分是一个复变函数的积分,计算很麻烦。求拉氏反变换的方法主要有部分分式法、查表法、留数法

6、等。实例求下面这个函数F(s)的拉氏反变换式。解法一：利用手算。解法二：利用MATLAB软件。应用拉氏变换求解微分方程的思路是：第四节　应用拉氏变换求解微分方程【例2-5】已知某系统的微分方程为：方程式中，r(t)是输入信号；c(t)是输出信号；T是常数。方程的初始条件为零。若系统的输入量是单位阶跃函数，则系统输出量的变化曲线是怎样的？解法一：利用手算。解法二：利用MATLAB软件。图2-3典型一阶系统的单位阶跃响应曲线本次课小结：●了解并理解拉氏变换和拉氏反变换的定义、性质。会查拉氏变换表。

7、●能够利用MATLAB软件求解已知函数的拉氏变换式、拉氏反变换式。●能够利用拉氏变换和拉氏反变换求解简单的微分方程。第三次作业：教材习题2-1、2-2。下次课展望：●系统的微分方程●系统的传递函数休息一下