数据拟合的基本概念数据拟合的线性模型数据拟合的非线性模型.ppt

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1、数据拟合的基本概念数据拟合的线性模型数据拟合的非线性模型数据拟合拟合问题引例1温度t(0C)20.532.751.073.095.7电阻R()7658268739421032已知热敏电阻数据：求600C时的电阻R。设R=at+ba,b为待定系数曲线拟合问题的提法已知一组（二维）数据，即平面上n个点（xi,yi)i=1,…n,寻求一个函数（曲线）y=f(x),使f(x)在某种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合得最好。+++++++++xyy=f(x)(xi,yi)ii为点（xi,yi)与曲线y=f(x)的距离拟合与插值的关系函数插值与曲线拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似，由于

2、近似的要求不同，二者的数学方法上是完全不同的。问题：给定一批数据点，需确定满足特定要求的曲线或曲面解决方案：若不要求曲线（面）通过所有数据点，而是要求它反映对象整体的变化趋势，这就是数据拟合，又称曲线拟合或曲面拟合。若要求所求曲线（面）通过所给所有数据点，就是插值问题;最临近插值、线性插值、样条插值与曲线拟合结果：已知数据表xx1x2··········xmf(x)y1y2··········ym离散数据的线性拟合求拟合函数:(x)=a+bxa+bx1=y1a+bx2=y2··················a+bxm=ymGX=F超定方程组最小二乘问题残差:r=GX–F=(GX–F,G

3、X–F)=(GX,GX)–2(GX,F)+(F,F)=(X,GTGX)–2(X,GTF)+(F,F)f(X)=(X,GTGX)–2(X,GTF)求解极值问题:g(t)=f(X+te)=f(X)+2t(e,GT(GX–F))+t2(e,GTGe)g’(0)=0(e,GT(GX–F))=0(e,GT(GX–F))=0GT(GX–F)=0GTGX–GTF=0GTGX=GTF设X是函数f(X)的极值点,任意e∈R2f(X+te)=(X+te,GTG(X+te))–2(X+te,GTF)令A=GTG,b=GTFAX=b对称正定方程组超定方程组最小二乘解X*的几何意义例向量组平面正规方程求a,b

4、使S(a,b)=min超定方程组:GX=F正规方程组:GTGX=GTF例1.已知实验数据如下,求线性拟合函数。解:设拟合曲线方程为(x)=a+bxx12345f(x)44.56895a+15b=31.515a+55b=108a=2.25,b=1.35GX=FGTGX=GTF求数据的二次拟合函数P(x)=a0+a1x+a2x2x12345f(x)44.5689解:将数据点代入,得a0+a1+a2=4a0+2a1+4a2=4.5··················a0+5a1+25a2=9得P(x)=3+0.7071x+0.1071x2二次拟合误差:

5、

6、r

7、

8、2=0.6437a0=3,a1

9、=0.7071,a2=0.1071比较线性拟合误差:

10、

11、r

12、

13、2=0.7583多项式拟合函数:(x)=a0+a1x+a2x2+······+anxn数据拟合的线性模型给定数据表xx1x2··········xmf(x)y1y2··········ym数据拟合的线性模型(x)=a00(x)+a11(x)+······+ann(x)例如:[0(x),1(x),···,n(x)]=[1,x,···,xn][0(x),1(x),···,n(x)]=[1,cosx,···,cosnx]拟合函数:拟合数据:f(xj)=yj,(j=1,2,3,·····,m)超定方程组:GX=FGT

14、GX=GTF··············m>n+1超定方程组系数矩阵按列分块GX=FGTGX=GTF·····正规方程组的解称为超定方程组的最小二乘解取求拟合函数:(x)=a00(x)+a11(x)给定数表xx1x2··········xmf(x)y1y2··········ym数据拟合的非线性模型求拟合函数f(x,c0,c1,···,cn)满足观测数据例1.已知人口统计数据利用最小二乘法求指数拟合y=ceaxxx1x2··········xmfy1y2··········ym年199119921993199419951996数量11.5811.7211.8511.9812.1112.

15、24指数函数拟合人口统计数据(单位：亿)(1)计算对数值yk=lnNk(k=1,2,…,6)(2)列出未知数a、b的超定方程组a+btk=yk(k=1，2，……，6)(3)求超定方程组的最小二乘解,得N=ea+bx,并预测N(2000),N(2008)N2000=12.7971,N2008=13.9783设N=ea+btlnN=a+bt令y=lnN,有y(t)=a+btt199119921993